Почему Луна удаляется от Земли?
Благодаря своей силе притяжения Луна сильнее притягивает к себе определенные части Земли, создавая приливную выпуклость в океанах нашей планеты. Так как Земля вращается гораздо быстрее Луны, то эта выпуклость возникает несколько раньше последней, что в силу ряда физических явлений толкает Луну на более высокую орбиту вокруг Земли.
Опасно легко воспринимать Луну как нечто само собой разумеющееся. То же самое верно и для Солнца. Однако, если бы не их вечное пребывание в нашем небе, жизнь на Земле была бы очень, очень сильно отличалась бы от того, что она есть сейчас, и не была бы для нас особенно приятной вещью!
Однако наш единственный естественный спутник — Луна — на самом деле удаляется от Земли. Ее орбита с каждым годом становится все больше и больше!
Воздействие приливных сил
Луна вращается вокруг Земли последние 4,5 миллиарда лет. Благодаря превосходящей массе Земли, она оказывает гораздо большую гравитационную силу, чем Луна на Землю, а это означает, что она тянет Луну к себе сильнее. Это порождает приливные силы, которые вызывают приливы в наших океанах.
Гравитационное притяжение между Луной и Землей сильнее на той стороне Земли, которая обращена к Луне. Причем эта сила наиболее сильна в области, наиболее близкой (имеющей минимальное расстояние) к Луне.
Как вы можете видеть на изображении выше, средняя часть нашей планеты (т.е. Экваториальная область) находится ближе к Луне, чем верх и низ планеты (полярные регионы). Следовательно, Луна немного сильнее притягивает к себе экваториальные области. Это большее гравитационное притяжение Луны вызывает высокие приливы в водах океанов (в этом регионе), создавая выпуклость в средней части Земли. Это называется приливной выпуклостью (или экваториальной выпуклостью).
Вот как ведут себя океанические приливы в зависимости от положения Земли по отношению к Луне. Это ясно показывает, что океан испытывает приливы, когда он находится ближе всего к Луне.
Эффект приливных сил испытывают обе стороны, т.е. точно так же, как наша планета переживает выпуклость (обратите внимание, что в результате этой выпуклости фактическое твердое тело Земли искажается всего на несколько сантиметров), вызванную гравитацией Луны, Луна также переживает приливное выпуклость на стороне, наиболее близкой к Земле.
Вращение Луны и Земли
Дрейфующие от Луны движения могут быть приписаны вращению как Земли, так и Луны. Понимаете, Земля вращается достаточно быстро (точнее, имеет высокую скорость вращения). Она совершает одно вращение по своей оси всего за 24 часа. С другой стороны, Луне требуется 27,3 дня, чтобы совершить одно вращение по своей оси! Очевидно, что Луна намного медленнее Земли, когда речь заходит об их соответствующей скорости вращения.
Поскольку существует значительная разница в их скоростях, приливная выпуклость на Земле пытается тянуть Луну вперед по своей орбите и имеет тенденцию ускорять ее (хотя и незначительно). Поскольку каждое действие имеет равную и противоположную реакцию, Луна также отталкивается от приливной выпуклости Земли, что приводит к уменьшению скорости вращения Земли.
Это уменьшение скорости вращения Земли вызывает потерю углового момента (энергии вращения), который затем передается на орбиту Луны через приливную силу, делая ее немного больше с каждым годом.
Результатом всего этого является то, что круговой путь Луны вокруг Земли увеличивается со скоростью 3,8 сантиметра в год. Другими словами, Луна с каждым годом удаляется от Земли на 3,8 сантиметра.
Аналогичным образом, скорость вращения Земли снижается такими темпами, что через 100 лет один день на Земле будет на 2 миллисекунды длиннее, чем сейчас.
В заключение. да, Луна удаляется от нас, но делает это очень медленно, так что не беспокойтесь пока о длинных безлунных ночах!
Источник
Почему Луна отдаляется от Земли?
Думаю каждый, кто немного интересовался космосом знает, что Луна медленно отдаляется от Земли. Иногда нас спрашивают:
Почему Луна отдаляется? Значит ли это, что в будущем Луна улетит от Земли?
В этой статье мы ответим на эти вопросы.
Согласно современным научным представлениям Луна сформировалась когда протопланета размером примерно с Марс столкнулась с Землёй примерно 4.5 миллиардов лет назад. В результате столкновения в космос было выброшено вещество, из которого сформировалась Луна.
Моделирование столкновения Земли с протопланетой, приведшее к формированию Луны
Исследования показывают, что во время своего формирования Луна была гораздо ближе к Земле — на расстоянии всего около 22500 километров. Для сравнения сейчас расстояние до Луны составляет 384 000 километров. Луна продолжает удаляться от Земли со скоростью примерно 3.78 сантиметра в год.
Чем обусловлено отдаление Луны от Земли?
Причиной, по которой Луна отдаляется от Земли является приливное ускорение . Земля своим притяжением удерживает Луну на орбите. При этом Луна также обладает заметной массой и её гравитационное притяжение также действует на Землю. Притяжение Луны проявляется в виде приливов и отливов.
Вращение Земли вокруг собственной оси приводит к тому, что приливная волна или как еще говорят приливный горб (tidal bulge) немного обгоняет Луну.
Благодаря тому, что приливный горб находится чуть впереди Луны он немного изменяет направление вектора притяжения Земли действующего на Луну и Луна чуть-чуть ускоряется. За счёт этого небольшого ускорения Луна и переходит на немного более высокую орбиту.
Источник
Скорость вращения Земли замедляется. Почему это происходит и к чему приведёт?
На самом деле в этом нет ничего таинственного. Ньютон предсказал это явление за сотни лет до того, как появилась возможность проведения непосредственных измерений.
В основном, Земля замедляется из-за того, что она вращается быстрее, чем Луна вращается вокруг Земли.
Гравитация Луны создаёт приливную выпуклость на Земле . Эта выпуклость стремится вращаться с той же скоростью, что и планета. Когда скорость вращения выпуклости опережает скорость вращения Луны, Луна стремится её замедлить . А это, в свою очередь, замедляет вращение всей Земли.
Одно из правил Вселенной заключается в том, что угловой момент (момент импульса) никуда не может деться, даже если отдельные части ускоряются, замедляются, меняют направление. Общая сумма углового момента не может измениться .
Земля теряет угловой момент, когда Луна её замедляет. Поэтому Луна должна получить больший угловой момент , что и происходит. Она двигается дальше от Земли по своей орбите . В настоящее время Луна удаляется от Земли примерно на 3,8 см в год .
Скорость вращения Земли замедляется , но при этом совсем незначительно . Это вызывает увеличение продолжительности дня примерно на 4 часа на каждый миллиард лет . Кроме того по оценкам учёных через 2,3 миллиарда лет солнечная радиация испарит мировой океан, поэтому влияние приливной выпуклости станет мизерным.
Совершенно противоположная ситуация происходит со спутником Марса — Фобосом . Фобос вращается вокруг Марса быстрее, чем Марс вращается вокруг своей оси. Поэтому Фобос ускоряет вращение Марса и, как следствие, начинает к нему приближаться. Вероятно это приведёт к столкновению. По различным оценкам учёных это произойдёт в течение нескольких десятков миллионов лет.
Обязательно подписывайтесь, Вам также понравится:
Почему горные дороги извилистые, а не прямые?
Скорость вращения Земли 1667 км/ч. Что произойдёт, если планета внезапно остановится на 60 секунд?
Почему мы используем в домах переменный ток, а не постоянный?
Источник
Приливное ускорение — Tidal acceleration
Приливное ускорение — это эффект приливных сил между естественным спутником, движущимся по орбите (например, Луной ), и основной планетой , вокруг которой он вращается (например, Землей ). Ускорение вызывает постепенное отклонение спутника на прямую орбиту от первичной обмотки и соответствующее замедление вращения первичной обмотки. Этот процесс в конечном итоге приводит к приливной блокировке , обычно сначала меньшего тела, а затем более крупного тела. Система Земля – Луна — наиболее изученный случай.
Аналогичный процесс приливного замедления происходит для спутников, у которых период обращения по орбите короче, чем период вращения главного компонента, или орбита которых движется в ретроградном направлении.
Название несколько сбивает с толку, потому что средняя скорость спутника относительно тела, вокруг которого он вращается, уменьшается в результате приливного ускорения и увеличивается в результате приливного замедления. Эта загадка возникает из-за того, что положительное ускорение в один момент заставляет спутник двигаться дальше по кругу в течение следующей половины орбиты, уменьшая его среднюю скорость. Продолжающееся положительное ускорение заставляет спутник разворачиваться по спирали наружу с уменьшающейся скоростью и угловой скоростью, что приводит к отрицательному угловому ускорению. Продолжающееся отрицательное ускорение имеет противоположный эффект.
СОДЕРЖАНИЕ
Система Земля – Луна
История открытия векового ускорения
Эдмонд Галлей был первым, кто предположил в 1695 году, что среднее движение Луны, по-видимому, ускоряется по сравнению с наблюдениями за древними затмениями , но он не дал никаких данных. (Во времена Галлея еще не было известно, что на самом деле происходит замедление скорости вращения Земли: см. Также Эфемеридное время — История . При измерении как функции среднего солнечного времени, а не единого времени, эффект выглядит как положительное ускорение.) В 1749 году Ричард Данторн подтвердил подозрения Галлея после повторного изучения древних записей и произвел первую количественную оценку размера этого очевидного эффекта: центуриальная скорость +10 ″ (угловые секунды) по лунной долготе, которая является удивительно точный результат для своего времени, не сильно отличающийся от значений, оцененных позже, например, в 1786 году де Лаландом, и для сравнения со значениями от примерно 10 дюймов до почти 13 дюймов, полученными примерно столетием позже.
Пьер-Симон Лаплас произвел в 1786 году теоретический анализ, дающий основу, на которой среднее движение Луны должно ускоряться в ответ на возмущающие изменения эксцентриситета орбиты Земли вокруг Солнца . Первоначальные вычисления Лапласа учли весь эффект, таким образом, казалось, что теория четко связана как с современными, так и с древними наблюдениями.
Однако в 1854 году Джон Коуч Адамс вновь открыл этот вопрос, обнаружив ошибку в вычислениях Лапласа: оказалось, что только около половины кажущегося ускорения Луны может быть объяснено на основе Лапласа изменением эксцентриситета орбиты Земли. . Открытие Адамса вызвало острую астрономическую полемику, которая длилась несколько лет, но в конечном итоге была признана правильность его результата, с которой согласились другие астрономы-математики, включая К.Э. Делоне . Вопрос зависел от правильного анализа движений Луны и усложнялся еще одним открытием, примерно в то же время, что еще одно значительное долгосрочное возмущение, которое было рассчитано для Луны (предположительно из-за действия Венеры ), также было по ошибке, при повторной проверке было обнаружено, что она почти ничтожна и практически должна была исчезнуть из теории. Часть ответа была предложена независимо в 1860-х годах Делоне и Уильямом Феррелом : приливное замедление скорости вращения Земли удлиняло единицу времени и вызывало лишь видимое ускорение Луны.
Астрономическому сообществу потребовалось некоторое время, чтобы принять реальность и масштаб приливных эффектов. Но со временем стало ясно, что здесь задействованы три эффекта, если измерять их средним солнечным временем. Помимо эффектов возмущающих изменений эксцентриситета орбиты Земли, обнаруженных Лапласом и исправленных Адамсом, существуют два приливных эффекта (комбинация, впервые предложенная Эммануэлем Ляисом ). Во-первых, это реальное замедление угловой скорости орбитального движения Луны из-за приливного обмена угловым моментом между Землей и Луной. Это увеличивает угловой момент Луны вокруг Земли (и перемещает Луну на более высокую орбиту с более низкой орбитальной скоростью ). Во-вторых, наблюдается явное увеличение угловой скорости орбитального движения Луны (если измерять ее средним солнечным временем). Это происходит из-за потери Землей углового момента и, как следствие, увеличения продолжительности дня.
Влияние гравитации Луны
Поскольку масса Луны составляет значительную часть массы Земли (около 1:81), эти два тела можно рассматривать как двойную планетную систему, а не как планету со спутником. Плоскость орбиты Луны вокруг Земли лежит близко к плоскости орбиты Земли вокруг Солнца ( эклиптика ), а не в плоскости вращения Земли ( экватор ), как это обычно бывает с планетными спутниками. Масса Луны достаточно велика и достаточно близка, чтобы вызывать приливы в материи Земли. На первом месте среди таких веществ, то вода из океанов выпирает как в стороне и от Луны. Если материал Земли отреагирует немедленно, возникнет выпуклость прямо к Луне и от нее. В твердой Земле есть отсроченный отклик из-за диссипации приливной энергии. Океаны более сложны, но есть также задержка, связанная с рассеянием энергии. Поскольку Земля вращается с большей скоростью, чем орбитальная угловая скорость Луны. Задержка в ответах заставляет приливную выпуклость переноситься вперед. Следовательно, линия, проходящая через две выпуклости, наклонена по отношению к направлению Земля-Луна, создавая крутящий момент между Землей и Луной. Этот крутящий момент ускоряет движение Луны по орбите и замедляет вращение Земли.
В результате этого процесса средний солнечный день, который должен составлять 86400 равных секунд, фактически становится длиннее, если измерять его в секундах системы СИ с помощью стабильных атомных часов . (Секунда СИ, когда она была принята, была уже немного короче, чем текущее значение секунды среднего солнечного времени.) Небольшая разница накапливается со временем, что приводит к увеличению разницы между нашим временем на часах ( всемирное время ) и временем. с другой стороны, атомное время и эфемеридное время : см. ΔT . Это привело к введению дополнительной секунды в 1972 году, чтобы компенсировать различия в основах стандартизации времени.
Помимо влияния океанских приливов, существует также приливное ускорение из-за изгиба земной коры, но это составляет лишь около 4% от общего эффекта, выраженного в терминах рассеивания тепла.
Если бы другие эффекты не принимались во внимание, приливное ускорение продолжалось бы до тех пор, пока период вращения Земли не совпадет с периодом обращения Луны. В то время Луна всегда находилась бы над одним фиксированным местом на Земле. Такая ситуация уже существует в системе Плутон — Харон . Однако замедление вращения Земли происходит недостаточно быстро, чтобы вращение удлинялось до месяца, прежде чем другие эффекты сделают это несущественным: примерно через 1–1,5 миллиарда лет непрерывное увеличение солнечной радиации , вероятно, вызовет испарение океанов Земли. , устраняя основную часть приливного трения и ускорения. Даже без этого замедление до дня длиной в месяц все равно не было бы завершено через 4,5 миллиарда лет, когда Солнце, вероятно, превратится в красного гиганта и, вероятно, уничтожит и Землю, и Луну.
Приливное ускорение — один из немногих примеров в динамике Солнечной системы так называемого векового возмущения орбиты, то есть возмущения, которое непрерывно увеличивается со временем и не является периодическим. До высокого порядка приближения взаимные гравитационные возмущения между большими и малыми планетами вызывают только периодические изменения их орбит, то есть параметры колеблются между максимальными и минимальными значениями. Приливный эффект приводит к появлению квадратичного члена в уравнениях, что приводит к неограниченному росту. В математических теориях планетных орбит, которые составляют основу эфемерид , действительно встречаются квадратичные и секулярные члены более высокого порядка, но в основном это разложения Тейлора очень длительных периодических членов. Причина, по которой приливные эффекты различны, заключается в том, что в отличие от далеких гравитационных возмущений, трение является важной частью приливного ускорения и приводит к постоянной потере энергии динамической системы в виде тепла . Другими словами, здесь нет гамильтоновой системы .
Угловой момент и энергия
Гравитационный момент между Луной и приливной выпуклостью Земли заставляет Луну постоянно продвигаться на несколько более высокую орбиту, а Землю замедлять свое вращение. Как и в любом физическом процессе в изолированной системе, полная энергия и угловой момент сохраняются. Фактически, энергия и угловой момент передаются от вращения Земли к орбитальному движению Луны (однако большая часть энергии, теряемой Землей (-3,78 ТВт), преобразуется в тепло из-за потерь на трение в океанах и их взаимодействия с твердая Земля, и только около 1/30 (+0,121 ТВт) передается на Луну). Луна удаляется все дальше от Земли (+ 38,30 ± 0,08 мм / год), поэтому ее потенциальная энергия, которая все еще отрицательна (в гравитационном колодце Земли ), увеличивается, т.е. становится менее отрицательной. Он остается на орбите, и из 3-го закона Кеплера следует, что его средняя угловая скорость фактически уменьшается, поэтому приливное воздействие на Луну фактически вызывает угловое замедление, то есть отрицательное ускорение (-25,97 ± 0,05 дюйма / столетие 2 ) ее вращения. вокруг Земли. Фактическая скорость Луны также уменьшается. Хотя ее кинетическая энергия уменьшается, ее потенциальная энергия увеличивается на большую величину, то есть E p = -2E c ( теорема вириала ).
Вращающий момент количества движения Земли уменьшается, и, следовательно, продолжительность дня увеличивается. Чистый поток вырос на Землю Луны тащится впереди Луны гораздо быстрее вращения Земли. Приливное трение необходимо, чтобы тянуть и поддерживать выпуклость перед Луной, и оно рассеивает избыточную энергию обмена вращательной и орбитальной энергией между Землей и Луной в виде тепла. Если бы не было трения и рассеивания тепла, гравитационная сила Луны на приливной выпуклости быстро (в течение двух дней) вернула бы прилив в синхронизацию с Луной, и Луна больше не отступала бы. Большая часть рассеивания происходит в турбулентном придонном пограничном слое в мелководных морях, таких как Европейский шельф вокруг Британских островов , Патагонский шельф у Аргентины и Берингово море .
Рассеяние энергии за счет приливного трения составляет в среднем около 3,64 тераватт из извлеченных 3,78 тераватт, из которых 2,5 тераватта приходятся на основной лунный компонент M 2, а остаток — на другие компоненты, как лунные, так и солнечные.
Равновесие приливное вздутие на самом деле не существует на Земле , потому что континенты не позволяют это математическое решение иметь место. Океанические приливы на самом деле вращаются вокруг бассейнов океана в виде огромных круговоротов вокруг нескольких амфидромных точек, где нет приливов. Луна притягивает каждую отдельную волну по мере вращения Земли — одни волны идут впереди Луны, другие — позади нее, а третьи — по обе стороны. «Выпуклости», которые на самом деле существуют, чтобы Луна притягивала (и которые притягивают Луну), являются чистым результатом интеграции фактических волн над всеми океанами мира. Чистый (или эквивалентный ) равновесный прилив на Земле имеет амплитуду всего 3,23 см и полностью перекрывается океанскими приливами, которые могут превышать один метр.
Исторические свидетельства
Этот механизм работает уже 4,5 миллиарда лет, с тех пор как на Земле впервые образовались океаны, но меньше времени, когда большая часть воды была льдом . Есть геологические и палеонтологические свидетельства того, что Земля вращалась быстрее и что Луна была ближе к Земле в далеком прошлом. Приливные ритмы — это чередующиеся слои песка и ила, откладывающиеся на берегу от устьев рек с сильными приливными потоками. В депозитах можно найти суточные, месячные и сезонные циклы. Эта геологическая летопись согласуется с этими условиями 620 миллионов лет назад: день составлял 21,9 ± 0,4 часа, и было 13,1 ± 0,1 синодических месяцев в году и 400 ± 7 солнечных дней в году. Средняя скорость удаления Луны с того времени по настоящее время составляла 2,17 ± 0,31 см / год, что примерно вдвое меньше нынешней скорости. Нынешняя высокая скорость может быть связана с почти резонансом между естественными частотами океана и частотами приливов.
Анализ наслоений в раковинах ископаемых моллюсков 70 миллионов лет назад, в позднемеловом периоде, показывает, что в году было 372 дня, и, таким образом, в то время день длился около 23,5 часов.
Количественное описание случая Земля – Луна.
За движением Луны можно следить с точностью до нескольких сантиметров с помощью лазерной локации Луны (LLR). Лазерные импульсы отражаются от ретрорефлекторов с призматическими угловыми призмами на поверхности Луны, установленных во время миссий Аполлон с 1969 по 1972 год, а также Луноходом- 1 в 1970 году и Луноходом-2 в 1973 году. Измерение времени возврата импульса дает очень точные измерения. расстояния. Эти измерения соответствуют уравнениям движения. Это дает численные значения для векового замедления Луны, то есть отрицательного ускорения, по долготе и скорости изменения большой полуоси эллипса Земля – Луна. Результаты за период 1970–2015 гг .:
−25,97 ± 0,05 угловой секунды / столетие 2 по эклиптической долготе +38,30 ± 0,08 мм / год для среднего расстояния Земля – Луна
Это согласуется с результатами спутниковой лазерной локации (SLR), аналогичного метода, применяемого к искусственным спутникам, вращающимся вокруг Земли, который дает модель гравитационного поля Земли, включая приливы. Модель точно предсказывает изменения в движении Луны.
Наконец, древние наблюдения солнечных затмений дают довольно точные положения Луны в эти моменты. Исследования этих наблюдений дают результаты, согласующиеся с приведенным выше значением.
Другое последствие приливного ускорения — замедление вращения Земли. Вращение Земли несколько неустойчиво во всех временных масштабах (от часов до столетий) по разным причинам. Небольшой приливный эффект невозможно наблюдать за короткий период, но совокупный эффект на вращение Земли, измеряемый с помощью стабильных часов ( эфемеридное время , атомное время ), нехватки даже нескольких миллисекунд каждый день становится легко заметным через несколько столетий. После какого-то события в далеком прошлом прошло больше дней и часов (при измерении полных оборотов Земли) ( всемирное время ), чем можно было бы измерить стабильными часами, откалиброванными на настоящую, более длинную продолжительность дня (эфемеридное время). Это известно как ΔT . Последние значения можно получить в Международной службе вращения Земли и систем отсчета (IERS). Также доступна таблица фактической продолжительности дня за последние несколько столетий.
Из наблюдаемого изменения орбиты Луны можно вычислить соответствующее изменение продолжительности дня:
+2,4 мс / день / столетие или +88 с / цикл 2 или +66 нс / день 2 .
Однако из исторических записей за последние 2700 лет найдено следующее среднее значение:
+1,72 ± 0,03 мс / сут / столетие или +63 с / цикл 2 или +47 нс / день 2 . (т.е. причина ускорения отвечает за -0,7 мс / день / цикл)
По два раза интегрирования по времени, соответствующая накопленная величина представляет собой параболу , имеющий коэффициент T 2 (время в квадрате вв) из ( 1 / 2 ) 63 с / CY 2 :
Δ Т = ( 1 / 2 ) 63 с / су 2 Т 2 = +31 с / су 2 Т 2 .
Противодействие приливному замедлению Земли — это механизм, который фактически ускоряет вращение. Земля — это не сфера, а, скорее, эллипсоид, сплющенный на полюсах. SLR показал, что это сплющивание уменьшается. Это объясняется тем, что во время ледникового периода большие массы льда собирались на полюсах и вдавливали подстилающие породы. Ледяная масса начала исчезать более 10000 лет назад, но земная кора все еще не находится в гидростатическом равновесии и все еще восстанавливается (время релаксации оценивается примерно в 4000 лет). Как следствие, полярный диаметр Земли увеличивается, а экваториальный диаметр уменьшается (объем Земли должен оставаться прежним). Это означает, что масса приближается к оси вращения Земли и момент инерции Земли уменьшается. Один только этот процесс приводит к увеличению скорости вращения (феномен вращающегося фигуриста, который вращается все быстрее, когда убирает руки). По наблюдаемому изменению момента инерции можно вычислить ускорение вращения: среднее значение за исторический период должно быть около -0,6 мс / столетие. Это во многом объясняет исторические наблюдения.
Другие случаи приливного ускорения
Большинство естественных спутников планет в некоторой степени испытывают приливное ускорение (обычно небольшое), за исключением двух классов тел, замедленных приливом. В большинстве случаев, однако, эффект настолько мал, что даже через миллиарды лет большинство спутников фактически не будет потеряно. Эффект, вероятно, наиболее заметен для второго спутника Марса Деймоса , который может стать астероидом, пересекающим Землю, после того, как выйдет из рук Марса. Эффект также возникает между различными компонентами двойной звезды .
Приливное замедление
Это бывает двух разновидностей:
- Быстрые спутники : некоторые внутренние луны планет-гигантов и Фобоса вращаются в пределах синхронного радиуса орбиты, так что их период обращения короче вращения их планеты. Другими словами, они вращаются вокруг своей планеты быстрее, чем вращается сама планета. В этом случае приливные выпуклости, создаваемые Луной на их планете, отстают от Луны и замедляют ее движение по орбите. В результате орбита Луны постепенно движется по спирали к планете. Вращение планеты также немного ускоряется. В далеком будущем эти луны столкнутся с планетой или пересекутся в пределах их границ Роша и будут разрушены приливом на фрагменты. Однако все такие луны в Солнечной системе — очень маленькие тела, и приливные выпуклости, создаваемые ими на планете, также невелики, поэтому эффект обычно слабый, а орбита медленно затухает. Затронутые спутники:
- Вокруг Марса : Фобос
- Вокруг Юпитера : Метида и Адрастея
- Вокруг Сатурна : нет, за исключением кольцевых частиц (как Юпитер, Сатурн — очень быстрый ротатор, но у него нет достаточно близких спутников)
- Вокруг Урана : Корделия , Офелия , Бьянка , Крессида , Дездемона , Джульетта , Порция , Розалинда , Амур , Белинда и Пердита.
- Вокруг Нептуна : Наяда , Таласса , Деспина , Галатея и Лариса
Некоторые предполагают, что после того, как Солнце станет красным гигантом, вращение его поверхности будет намного медленнее, и это вызовет приливное замедление всех оставшихся планет.
- Ретроградные спутники : все ретроградные спутники в некоторой степени испытывают приливное замедление, потому что их орбитальное движение и вращение их планеты происходят в противоположных направлениях, вызывая восстанавливающие силы их приливных выпуклостей. Отличие от предыдущего случая с «быстрым спутником» здесь состоит в том, что вращение планеты также замедляется, а не ускоряется (угловой момент все еще сохраняется, потому что в этом случае значения вращения планеты и вращения Луны имеют противоположные знаки). Единственный спутник в Солнечной системе, для которого этот эффект заметен, — это спутник Нептуна Тритон . Все остальные ретроградные спутники находятся на далеких орбитах, и приливные силы между ними и планетой незначительны.
Считается, что Меркурий и Венера не имеют спутников главным образом потому, что любой гипотетический спутник давно бы пострадал от замедления и врезался бы в планеты из-за очень медленных скоростей вращения обеих планет; кроме того, у Венеры также есть ретроградное вращение.
Теория
Размер приливной выпуклости
Пренебрегая осевым наклоном , приливная сила, которую спутник (например, Луна) оказывает на планету (например, Землю), может быть описана изменением его гравитационной силы на расстоянии от нее, когда эта сила считается приложенной к единице. масса : d м <\ displaystyle dm> 
δ F δ р знак равно — 2 грамм м d м р 3 <\ displaystyle <\ frac <\ delta F><\ delta r>> = — 2 <\ frac
где G — универсальная гравитационная постоянная , m — масса спутника, а r — расстояние между спутником и планетой.
Таким образом, спутник создает на планете тревожный потенциал, разница которого между центром планеты и ближайшей (или самой дальней) точкой к спутнику составляет:
Δ V знак равно 2 грамм м d м А 2 р 3 <\ displaystyle \ Delta V = 2 <\ frac
где A — радиус планеты.
Размер приливной выпуклости, созданной на планете, можно приблизительно оценить как отношение между этим возмущающим потенциалом и силой тяжести на поверхности планеты:
ЧАС ≈ Δ V грамм M d м / А 2 знак равно 2 м А 4 M р 3 <\ displaystyle H \ приблизительно <\ гидроразрыва <\ Delta V>
Более точный расчет дает:
ЧАС знак равно 15 8 м А 4 M р 3 <\ displaystyle H = <\ frac <15><8>> <\ frac
предполагая, что мы пренебрегаем эффектом второго порядка из-за жесткости материала планеты.
Для системы Луна-Земля ( m = 7,3 × 10 22 кг, M = 6 × 10 24 кг, A = 6,4 × 10 6 м, r = 3,8 × 10 8 ) это дает 0,7 метра, что близко к истинному значению для высота океанских приливов (примерно один метр).
Обратите внимание, что образуются две выпуклости, одна с центром примерно вокруг точки, ближайшей к спутнику, а другая с центром примерно вокруг точки, наиболее удаленной от него.
Крутящий момент
Из-за вращения планеты выпуклости несколько отстают (?, Впереди) оси планеты-спутника, что создает угол между ними. Размер этого угла запаздывания зависит от инерции и (что гораздо важнее) от сил рассеяния (например, трения), действующих на выступ. α <\ displaystyle \ alpha>
Спутник прикладывает разные силы к ближнему и дальнему выступу. Разница примерно равна диаметру планеты, где мы заменяем единицу массы в приведенном выше расчете приблизительной массой каждой выпуклости (где ρ — массовая плотность выпуклости): δ F / δ р <\ displaystyle \ delta F / \ delta r> π ρ А 2 ЧАС <\ Displaystyle \ пи \, \ ро \, А ^ <2>\, Н>
Δ F ≈ δ F δ р ⋅ 2 А ⋅ потому что ( α ) знак равно 4 π грамм м ρ А 3 ЧАС р 3 потому что ( α ) <\ displaystyle \ Delta F \ приблизительно <\ frac <\ delta F><\ delta r>> \ cdot 2A \ cdot \ cos (\ alpha) = 4 \ pi <\ frac
где мы учли влияние угла запаздывания . α <\ displaystyle \ alpha>
Чтобы получить приблизительную оценку крутящего момента, создаваемого спутником на планете, нам нужно умножить эту разницу на длину рычага (который является диаметром планеты) и на синус угла запаздывания, получив:
N ≈ 8 π грамм м ρ А 4 ЧАС р 3 потому что ( α ) грех ( α ) знак равно 4 π грамм м ρ А 4 ЧАС р 3 грех ( 2 α ) <\ Displaystyle N \ приблизительно 8 \ pi <\ frac
Более точный расчет добавляет коэффициент 2/5 из-за сферической формы планеты и дает:
N знак равно 8 5 π грамм м ρ А 4 ЧАС р 3 грех ( 2 α ) <\ displaystyle N = <\ frac <8><5>> \ pi <\ frac
Вставив значение H, найденное выше, это:
N знак равно 3 π грамм м 2 ρ А 8 M р 6 грех ( 2 α ) <\ displaystyle N = 3 \ pi <\ frac
Это можно записать так:
N знак равно 9 4 k грамм м 2 А 5 р 6 грех ( 2 α ) <\ displaystyle N = <\ frac <9><4>> к <\ frac
Где k — связанный коэффициент, который может быть выражен числами Лява с учетом неоднородности плотности массы планеты; сюда также входят поправки из-за жесткости планеты, на которые пренебрегли выше. Для Земли большая часть выпуклости состоит из морской воды и не имеет поправки на жесткость, но ее массовая плотность составляет 0,18 средней плотности массы Земли (1 г / см 3 против 5,5 г / см 3 ), так что . В литературе используется близкое значение 0,2 ( ) k ≈ 0,18 <\ displaystyle k \ приблизительно 0,18> знак равно 2 k 2 / 3 <\ displaystyle <>= 2k_ <2>/ 3>
Аналогичный расчет можно сделать для приливов, созданных на планете Солнцем. Здесь m следует заменить массой Солнца, а r — расстоянием до Солнца. Поскольку α зависит от диссипативных свойств Земли, ожидается, что оно будет одинаковым для обоих. В результате крутящий момент составляет 20% от крутящего момента Луны.
Связь угла запаздывания с диссипацией энергии
Работа, производимая спутником над планетой, создается силой F, действующей на пути движения единиц массы, движущихся со скоростью u на планете (фактически, в выпуклости).
Силы и расположение зависят от относительного угла к оси планеты-спутника θ , который периодически изменяется с угловым моментом Ω . Поскольку сила в сферической системе координат планеты симметрична в направлении к спутнику и в противоположном направлении (в обоих направлениях наружу), зависимость аппроксимируется синусоидальной по 2 θ . Таким образом, сила, действующая на единицу массы, имеет вид:
d F ( т ) знак равно d F 0 потому что ( 2 θ ) знак равно d F 0 потому что ( 2 Ω т ) <\ Displaystyle dF (t) = dF_ <0>\ cos (2 \ theta) = dF_ <0>\ cos (2 \ Omega t)>
а перевод, спроецированный в том же направлении, имеет вид:
ξ ( т ) знак равно ξ 0 потому что ( 2 ( θ — α ) знак равно ξ 0 потому что ( 2 ( Ω т — α ) <\ Displaystyle \ xi (t) = \ xi _ <0>\ cos (2 (\ theta — \ alpha) = \ xi _ <0>\ cos (2 (\ Omega t- \ alpha)>
из-за угла запаздывания. Таким образом, составляющая скорости в направлении силы равна:
ты ( т ) знак равно d ξ ( т ) d т знак равно — 2 Ω ξ 0 грех ( 2 ( θ — α ) <\ displaystyle u (t) = <\ frac
Таким образом, общая работа над единицей массы за один цикл равна:
∫ 0 π / Ω d F → ( т ) ты → ( т ) d т знак равно — 2 Ω d F 0 ξ 0 ∫ 0 π / Ω потому что ( 2 Ω т ) грех ( 2 ( Ω т — α ) ) d т знак равно — π d F 0 ξ 0 грех ( 2 α ) <\ displaystyle \ int _ <0>^ <\ pi / \ Omega><\ vec
Фактически, почти все это рассеивается (например, в виде трения), как объясняется ниже.
Теперь, если посмотреть на полную энергию от потенциала спутника в одном из выступов, это равно полной работе, выполненной над ним в четверти общего углового диапазона, то есть от нуля до максимального смещения:
E * знак равно ∫ — π / 4 Ω + α / Ω α / Ω d F → ( т ) ты → ( т ) d т знак равно — 2 Ω d F 0 ξ 0 ∫ — π / 4 Ω + α / Ω α / Ω потому что ( 2 Ω т ) грех ( 2 ( Ω т — α ) ) d т знак равно — d F 0 ξ 0 ∫ — π / 2 0 потому что ( z + 2 α ) грех ( z ) d z ≈ 1 2 d F 0 ξ 0 <\ displaystyle <\ begin
где мы определили и аппроксимировали для малых α в последнем равенстве, пренебрегая этим. z знак равно 2 ( Ω т — α ) <\ Displaystyle Z = 2 (\ Omega t- \ альфа)>
Доля энергии, рассеиваемая в каждом цикле, представлена эффективной удельной функцией рассеяния, обозначаемой и определяемой как общая рассеиваемая энергия за один цикл, деленная на . Это дает: Q — 1 <\ displaystyle Q ^ <- 1>> 2 π E * <\ displaystyle 2 \ pi E ^ <*>>
Q — 1 знак равно грех ( 2 α ) <\ Displaystyle Q ^ <- 1>= \ грех (2 \ альфа)>
Его значение оценивается как 1/13 для Земли, где выпуклость в основном жидкая, 10 −1 -10 −2 для других внутренних планет и Луны, где выпуклость в основном сплошная, и как 10 −3 −10 −5 для внешних, преимущественно газовых планет.
Имея это значение для Земли, можно рассчитать крутящий момент, равный 4,4 × 10 16 Н · м, что всего на 13% выше измеренного значения 3,9 · 10 16 Н · м.
Отметим, что в далеком прошлом для системы Земля – Луна значение, вероятно, было несколько меньше. k ⋅ грех ( 2 α ) <\ Displaystyle к \ CDOT \ грех (2 \ альфа)>
Замедление вращения планеты
Снова пренебрегая осевым наклоном , изменение углового момента L планеты со временем равно крутящему моменту. Л , в свою очередь , является произведением угловой скорости Q , с моментом инерции I .
Для сферической планеты приблизительно с однородной плотностью массы,, где f — коэффициент, зависящий от структуры планеты; сферическая планета однородной плотности имеет f = 2/5 = 0,4. Поскольку угловой момент Это дает: я знак равно ж M А 2 <\ displaystyle I = fMA ^ <2>>
d Ω d т знак равно d L я d т знак равно N я знак равно 45 8 k грамм м 2 А 3 M р 6 грех ( 2 α ) <\ displaystyle <\ frac
- > = <\ frac
- > = <\ frac <1><2>> m <\ sqrt
> \, r ^ <- 1/2> <\ frac - > \\ [5pt] & < \ frac
- > = <\ frac <2r ^ <1/2>>
>>> N = <\ frac <9><2>> k <\ sqrt < \ frac >> <\ frac > >> \ sin (2 \ alpha) \ end <выровнено>>> 
Кроме того, поскольку у нас есть: п знак равно грамм M р — 3 / 2 <\ displaystyle n = <\ sqrt
> r ^ <- 3/2>> d п d т знак равно — 3 2 грамм M р — 5 / 2 d р d т знак равно — 3 2 п р d р d т знак равно 27 4 k грамм м А 5 р 8 грех ( 2 α ) <\ displaystyle <\ frac
- > = — <\ frac <3><2>> <\ sqrt
> r ^ <- 5/2> <\ frac - > = — <\ frac <3><2>> <\ frac
> <\ frac - > = <\ frac <27><4>> кг <\ frac
> <г ^ <8>>> \ sin (2 \ alpha)> Обратите внимание: если предположить, что все вращения происходят в одном направлении и Ω > ω , с течением времени угловой момент планеты уменьшается и, следовательно, момент орбиты спутника увеличивается. Последнее увеличивается из-за его связи с расстоянием между планетой и спутником, поэтому угловая скорость орбиты спутника уменьшается.
Для системы Земля-Луна d r / d t дает 1,212 × 10 -9 метров в секунду (или нм / с), или 3,8247 см в год (или также м / с) [ 24 ] . Это увеличение расстояния Земля-Луна на 1% за 100 миллионов лет. Замедление Луны d n / d t составляет -1,2588 × 10 -23 радиан-сек -2 или -25,858 «/ cy 2 , и для периода 29,5 дней (синодический месяц) эквивалентно увеличению на 38 мс / cy, или 7 минут через 1 миллион лет, или 1 день (т.е. удлинение лунного периода за 1 день) через 210 миллионов лет.
Эффект Солнца
Система Солнце-планета имеет два эффекта приливного трения. Один из эффектов заключается в том, что Солнце создает приливное трение на планете, которое уменьшает ее вращающий угловой момент и, следовательно, также увеличивает его орбитальный угловой момент вокруг Солнца, тем самым увеличивая расстояние и уменьшая его угловую скорость (при условии, что орбитальная угловая скорость Солнца меньше, чем у вращающейся планеты; в противном случае направления изменения противоположны).
Если M S — масса Солнца, а D — расстояние до него, то скорость изменения D определяется, как и в приведенном выше вычислении, следующим образом:
d D d т знак равно 2 D 1 / 2 M грамм M S N S знак равно 9 2 k грамм M S 3 / 2 А 5 M D 11 / 2 грех ( 2 α ) <\ displaystyle <\ frac
- > = <\ frac <2D ^ <1/2>>
>>>> N_ = <\ frac <9 ><2>> k <\ frac <<\ sqrt> \, M_ ^ <3/2>\, A ^ <5>>>> \ sin ( 2 \ alpha)> Орбитальная угловая скорость планеты Ω S затем изменяется как:
d Ω S d т знак равно — 3 2 грамм M S D — 5 / 2 d D d т знак равно 27 4 k грамм M S 2 А 5 M D 8 грех ( 2 α ) <\ displaystyle <\ frac
> - > = — <\ frac <3><2>> <\ sqrt
>> D ^ <- 5/2> < \ frac - > = <\ frac <27><4>> k <\ frac
^ <2>\, A ^ <5>> >> \ грех (2 \ альфа)> Для системы Земля-Солнце это дает 1 × 10 -13 метров в секунду, или 3 метра за 1 миллион лет. Это увеличение расстояния между Землей и Солнцем на 1% за полмиллиарда лет. Замедление орбитальной угловой скорости Земли составляет -2 × 10 −31 радиан с 2 или -410 × 10 −9 дюймов / с 2 , или, что эквивалентно, для периода в 1 год, 1 секунду за 1 миллиард лет.
Другой, относительно незначительный эффект заключается в том, что планета создает приливное трение на Солнце. Это приводит к изменению расстояния до Солнца и орбитальной угловой скорости вокруг него, как это происходит для спутника в системе спутник-планета. Используя те же уравнения, но теперь для системы планета-Солнце, где A S означает радиус Солнца (7 × 10 8 метров), мы имеем:
d D d т знак равно 9 2 k S грамм M S M А S 5 D 11 / 2 грех ( 2 α S ) <\ displaystyle <\ frac
- > = <\ frac <9><2>> k_
<\ sqrt <\ frac>>> <\ frac > ^ <5>> >> \ sin (2 \ alpha _ )>d Ω S d т знак равно 27 4 k S грамм M А S 5 D 8 грех ( 2 α S ) <\ displaystyle <\ frac > - > = <\ frac <27><4>> k_
G <\ frac^ <5>> >> \ sin (2 \ alpha _ )> где k S — множитель, предположительно очень маленький, из-за неоднородности массовой плотности Солнца. Если предположить, что этот множитель, умноженный на sin (2 α S ), не больше, чем то, что находится на внешних планетах, то есть 10 −3 — 10 −5 , мы получаем незначительный вклад от этого эффекта.
Детальный расчет для системы Земля – Луна.
Возможное возмущение, создаваемое Луной на Земле
Потенциал или потенциальная энергия на единицу массы, которую Луна создает на Земле, центр которой расположен на расстоянии r 0 от Луны по оси z , во вращающейся системе отсчета Земля-Луна и в координатах с центром в Центр Земли, это:
W знак равно — грамм м | ( р → ) — р 0 z ^ | + 1 2 ω 2 | р → — р 1 z ^ | 2 <\ displaystyle <\ cal
> = — <\ frac <| (<\ vec >) — r_ <0><\ hat > |>> + <\ frac <1 ><2>> \ omega ^ <2>| <\ vec > — r_ <1><\ hat > | ^ <2>> где — расстояние от Луны до центра масс системы Земля – Луна, ω — угловая скорость Земли вокруг этой точки (такая же, как орбитальная угловая скорость Луны). Второй член — эффективный потенциал центробежной силы Земли. р 1 <\ displaystyle r_ <1>>
Мы расширяем потенциал в серии Тейлора вокруг точки. Линейный член должен исчезнуть (по крайней мере, в среднем по времени), поскольку в противном случае сила в центре Земли не была бы нулевой. Таким образом:
W знак равно 1 2 ω 2 ( Икс 2 + у 2 + ( z — р 1 ) 2 ) — грамм м Икс 2 + у 2 + ( z — р 0 ) 2 знак равно постоянный + 1 2 ω 2 ( Икс 2 + у 2 + z 2 ) — грамм м р 0 3 ( z 2 — 1 2 ( Икс 2 + у 2 ) ) + грамм м р 0 5 ( ⋯ ) + ⋯ <\ displaystyle <\ begin
<\ cal > & = <\ frac <1><2>> \ omega ^ <2>\ left (x ^ <2>+ y ^ <2>+ ( z-r_ <1>) ^ <2>\ right) — <\ frac <\ sqrt + y ^ <2>+ (z-r_ <0>) ^ <2>> >> \\ [5pt] & = <\ text > + <\ frac <1><2>> \ omega ^ <2>(x ^ <2>+ y ^ <2>+ z ^ <2 >) — <\ frac ^ <3>>> \ left (z ^ <2>— <\ frac <1><2>> (x ^ <2>+ y ^ <2 >) \ right) + <\ frac ^ <5>>> (\ cdots) + \ cdots \ end >> Переход к сферическим координатам дает:
W знак равно постоянный + 1 2 ω 2 р 2 — грамм м р 2 р 0 3 1 2 ( 3 потому что 2 ( θ ) — 1 ) + грамм м р 0 5 ( ⋯ ) + ⋯ знак равно постоянный + 1 2 ω 2 р 2 — грамм м ∑ п знак равно 2 ∞ р п р 0 п + 1 п п ( потому что θ ) <\ displaystyle <\ begin
<\ cal > & = <\ text > + <\ frac <1><2>> \ omega ^ <2>r ^ <2>— <\ frac > ^ <3>>> <\ frac <1><2>> (3 \ cos ^ <2>(\ theta) -1) + <\ frac ^ <5>>> (\ cdots) + \ cdots \\ [5pt] & = <\ text > + <\ frac <1><2>> \ omega ^ <2>r ^ <2>-Gm \ sum _ ^ <\ infty><\ frac > ^ >> P_ (\ cos \ тета) \ конец <выровнено>>> где — полиномы Лежандра . п п ( потому что θ ) <\ Displaystyle P_ <п>(\ соз \ тета)>
Постоянный член не имеет механического значения, в то время как вызывает фиксированное расширение и не участвует напрямую в создании крутящего момента. р 2 <\ displaystyle r ^ <2>>
Таким образом, мы сосредотачиваемся на других членах, сумму которых мы обозначаем , и, главным образом, на самом большом члене, так как это самое большее отношение радиуса Земли к ее расстоянию от Луны, которое составляет менее 2%. W 2 + <\ displaystyle <\ cal
> _ <2+>> п 2 ( потому что θ ) <\ Displaystyle P_ <2>(\ соз \ тета)> р р 0 <\ displaystyle <\ frac >>> Форма выпуклости I: реакция на пертурбативный потенциал
Мы рассматриваем потенциал, создаваемый Луной, как возмущение гравитационного потенциала Земли. Таким образом, высота на Земле в точке с углами , составляет: θ <\ displaystyle \ theta>
φ <\ displaystyle \ varphi> р ( θ , φ ) знак равно А + δ ( θ , φ ) <\ Displaystyle г (\ тета, \ varphi) = A + \ дельта (\ тета, \ varphi)>
где , а амплитуда δ пропорциональна возмущению. Мы разложим δ в полиномы Лежандра, где постоянный член (обозначающий растяжение) будет проигнорирован, поскольку он нас не интересует. Таким образом: δ ≪ А <\ displaystyle \ delta \ ll A>
δ ( θ , φ ) знак равно ∑ п знак равно 1 ∞ δ п п п ( потому что θ ) <\ displaystyle \ delta (\ theta, \ varphi) = \ sum _
^ <\ infty>\ delta _ P_ (\ cos \ theta)> где δ n — неизвестные константы, которые мы хотим найти.
Мы предполагаем на данный момент полное равновесие, а также отсутствие жесткости на Земле (например, как в жидкой Земле). Следовательно, его поверхность эквипотенциальна , а значит , постоянна, где — потенциал Земли на единицу массы. Поскольку δ пропорционально , что намного меньше V E , это можно разложить по δ . Отбросив нелинейные члены, получим: V E ( р ( θ , φ ) ) + W 2 + ( р ( θ , φ ) ) <\ Displaystyle V_
\ left (r (\ theta, \ varphi) \ right) + W_ <2 +>\ left (r (\ theta, \ varphi) \ right)> V E ( р ) <\ displaystyle V_ (r)> W 2 + <\ displaystyle W_ <2+>> постоянный знак равно V E ( р ( θ , φ ) ) + W 2 + ( р ( θ , φ ) ) ≈ V E ( А ) + V E ′ ( А ) δ ( θ , φ ) + W 2 + ( А ) <\ displaystyle <\ text
> = V_ \ left (r (\ theta, \ varphi) \ right) + <\ cal > _ <2 +>(r (\ theta, \ varphi )) \ приблизительно V_ (A) + V_ ^ <\ prime>(A) \ delta (\ theta, \ varphi) + <\ cal > _ <2 +>(A)> постоянный знак равно V E ′ ( А ) ∑ п знак равно 1 ∞ δ п п п ( потому что θ ) — грамм м ∑ п знак равно 2 ∞ А п р 0 п + 1 п п ( потому что θ ) <\ displaystyle <\ text > = V_ ^ <\ prime>(A) \ sum _ ^ <\ infty>\ delta _ P_ (\ cos \ theta) -Gm \ sum _ ^ <\ infty><\ frac > ^ >> P_ (\ cos \ theta) > Обратите внимание, что это сила, приходящаяся на единицу массы от силы тяжести Земли, то есть просто ускорение свободного падения g . V E ′ ( р ) ≡ d V E ( р ) / d р <\ Displaystyle V_
^ <\ prime>(r) \ Equiv dV_ (r) / dr> V E ′ ( А ) <\ Displaystyle V_ ^ <\ prime>(A)> Поскольку полиномы Лежандра ортогональны , мы можем приравнять их коэффициенты в обеих частях уравнения, давая:
δ 1 знак равно 0 <\ displaystyle \ delta _ <1>= 0>
δ п знак равно грамм м А п / р 0 п + 1 V E ′ ( А ) знак равно грамм м А п / р 0 п + 1 грамм M / А 2 знак равно м А п + 2 M р 0 п + 1 , п ≥ 2 <\ displaystyle \ delta _ = <\ frac / r_ <0>^ > ^ <\ prime>(A)>> = <\ frac / r_ <0>^ > >> = <\ frac > ^ >>, \ qquad n \ geq 2> Таким образом, высота — это отношение потенциала возмущения к силе возмущенного потенциала.
Форма выпуклости II: деформация, создающая пертурбативный потенциал
До сих пор мы пренебрегали тем фактом, что сама деформация создает пертурбативный потенциал. Чтобы учесть это, мы можем вычислить этот пертурбативный потенциал, повторно вычислить деформацию и продолжить итеративно.
Предположим, что плотность массы однородна. Поскольку δ намного меньше, чем A , деформацию можно рассматривать как тонкую оболочку, добавленную к массе Земли, где оболочка имеет поверхностную плотность массы ρ δ (а также может быть отрицательной), где ρ — массовая плотность ( если плотность массы неоднородна, то изменение формы планеты создает различия в распределении массы по всей глубине, и это также необходимо учитывать). Поскольку гравитационный потенциал имеет ту же форму, что и электрический потенциал, это простая задача в электростатике . Для аналогичной электростатической задачи потенциал, создаваемый оболочкой, имеет вид:
∑ п знак равно 0 ∞ а п р п п п ( потому что θ ) , р ≤ А <\ displaystyle \ sum _
^ <\ infty>a_ r ^ P_ (\ cos \ theta), \ qquad r \ leq A> ∑ п знак равно 0 ∞ а п А 2 п + 1 р п + 1 п п ( потому что θ ) , р ≥ А <\ displaystyle \ sum _ ^ <\ infty>a_ <\ frac > >> P_ (\ cos \ тета), \ qquad r \ geq A> где поверхностная плотность заряда пропорциональна скачку градиента потенциала:
σ ( θ ) знак равно ε 0 ∑ п знак равно 0 ∞ ( 2 п + 1 ) а п А п — 1 п п ( потому что θ ) <\ displaystyle \ sigma (\ theta) = \ varepsilon _ <0>\ sum _
^ <\ infty>(2n + 1) a_ A ^ P_ ( \ cos \ theta)> ε 0 <\ displaystyle \ varepsilon _ <0>>
— диэлектрическая проницаемость вакуума , константа, относящаяся к электростатике, связанная с уравнением . Аналогичное уравнение для гравитации имеет вид , поэтому, если плотность заряда заменяется плотностью массы, следует заменить на . U ( р ) знак равно 1 4 π ε 0 q 2 р <\ displaystyle U (r) = <\ frac <1><4 \ pi \ varepsilon _ <0>>> <\ frac >
>> U ( р ) знак равно грамм м 2 р <\ Displaystyle U (г) = G <\ гидроразрыва <м ^ <2>> <г>>> ε 0 <\ displaystyle \ varepsilon _ <0>> 1 4 π грамм <\ displaystyle <\ frac <1><4 \ pi G>>> Таким образом, в гравитационной задаче мы имеем:
ρ ∑ п δ п п п ( потому что θ ) знак равно 1 4 π грамм ∑ п ( 2 п + 1 ) а п А п — 1 п п ( потому что θ ) <\ displaystyle \ rho \ sum _
\ delta _ P_ (\ cos \ theta) = <\ frac <1><4 \ pi G>> \ sum _ (2n + 1) a_ A ^ P_ (\ cos \ theta)> Итак, опять же из-за ортогональности многочленов Лежандра:
а п знак равно 4 π грамм ρ ( 2 п + 1 ) А п — 1 δ п <\ displaystyle a_
= 4 \ pi <\ frac <(2n + 1) A ^ >> \ delta _ > Таким образом, пертурбативный потенциал на единицу массы равен: р ≥ А <\ displaystyle r \ geq A>
4 π грамм ρ А п + 2 ∑ п знак равно 0 ∞ 1 ( 2 п + 1 ) р п + 1 δ п п п ( потому что θ ) знак равно 3 грамм M А 2 ∑ п А п + 1 ( 2 п + 1 ) р п + 1 δ п п п ( потому что θ ) <\ displaystyle <\ begin
& 4 \ pi G \ rho A ^ \ sum _ ^ <\ infty> <\ frac <1><(2n + 1) r ^ < n + 1>>> \ delta _ P_ (\ cos \ theta) \\ [5pt] = <> & 3 <\ frac >> \ sum _ <\ frac > <(2n + 1) r ^ >> \ delta _ P_ (\ cos \ theta) \ end <выровнено>> > Обратите внимание: поскольку плотность массы Земли на самом деле неоднородна, этот результат необходимо умножить на коэффициент, который примерно равен отношению плотности массы выпуклости к средней массе Земли, примерно 0,18. Фактический коэффициент несколько больше, поскольку есть некоторая деформация и в более глубоких твердых слоях Земли. Обозначим этот множитель через x . Жесткость также снижает x , хотя это менее актуально для большей части выступа, сделанного из морской воды.
Деформация создавалась пертурбативным потенциалом размера . Таким образом, для каждого коэффициента отношение исходного пертурбативного потенциала к вторично созданному деформацией составляет: W 2 + ( А ) знак равно грамм M А 2 δ п п п ( потому что θ ) <\ displaystyle <\ cal
> _ <2 +>(A) = <\ frac >> \ delta _ P_ (\ cos \ theta)> п п ( потому что θ ) <\ Displaystyle P_ <п>(\ соз \ тета)> c п ≡ 3 Икс 2 п + 1 <\ Displaystyle c_ <п>\ эквив <\ гидроразрыва <3x><2n + 1>>>
с x = 1 для идеально нежесткой однородной планеты.
Этот вторичный пертурбативный потенциал создает другую деформацию, которая снова создает пертурбативный потенциал и так далее до бесконечности, так что общая деформация имеет размер:
∑ п ∑ k знак равно 0 ∞ c п k час п п п ( потому что θ ) знак равно ∑ п 1 1 — c п δ п п п ( потому что θ ) <\ displaystyle \ sum _
\ sum _ ^ <\ infty>c_ ^ h_ P_ (\ cos \ theta) = \ sum _ <\ frac <1><1-c_ >> \ delta _ P_ (\ cos \ theta)> Для каждой моды отношение к δ n , наивная оценка деформации, обозначается как число Лява . Для совершенно нежесткой однородной планеты (например, жидкой Земли из несжимаемой жидкости) это равно , а для основного режима n = 2 это 5/2. 1 1 — c п <\ displaystyle <\ frac <1><1-c_
>>> час п <\ displaystyle h_ > 2 п + 1 2 <\ displaystyle <\ frac <2n + 1><2>>> Точно так же n -я мода приливного пертурбативного потенциала на единицу массы, создаваемого Землей при r = A, представляет собой число Лява k n, умноженное на соответствующий член в исходном лунном приливном пертурбативном потенциале, где для однородной плотности массы планета с нулевой жесткостью k n это:
k п знак равно ∑ k знак равно 1 ∞ c п k знак равно c п 1 — c п <\ displaystyle k_
= \ sum _ ^ <\ infty>c_ ^ = <\ frac > <1-c_ >>> Для совершенно нежесткой однородной планеты (например, жидкой Земли из несжимаемой жидкости) это равно 3/2. Фактически, для основного режима n 2 реальное значение для Земли составляет одну пятую от него, а именно k 2 = 0,3 (что соответствует c 2 = 0,23 или x = 0,38, что примерно вдвое превышает коэффициент плотности 0,18).
Расчет крутящего момента
Вместо того, чтобы вычислять крутящий момент, который Луна оказывает на деформацию Земли, мы вычисляем обратный крутящий момент, оказываемый деформацией Земли на Луну; оба должны быть равны.
Потенциал, создаваемый выпуклостью Земли, и есть пертурбативный потенциал, который мы обсуждали выше. На единицу массы для r = A это то же самое, что лунный пертурбативный потенциал, создающий выпуклость, с каждой модой, умноженной на k n , причем мода n = 2 значительно доминирует над потенциалом. Таким образом, при r = A пертурбативный потенциал выпуклости на единицу массы равен:
U ( р знак равно А , θ ) знак равно — грамм м ∑ п знак равно 2 ∞ k п А п р 0 п + 1 п п ( потому что θ ) <\ displaystyle <\ cal <(r = A, \ theta)>> = — Gm \ sum _
^ <\ infty>k_ <\ frac > ^ >> P_ (\ cos \ theta)> поскольку n — мода, она спадает как r — ( n +1) для r > A , мы имеем за пределами Земли:
U ( р , θ ) знак равно — грамм м ∑ п знак равно 2 ∞ k п А п р 0 п + 1 А п + 1 р п + 1 п п ( потому что θ ) <\ displaystyle <\ cal <(r, \ theta)>> = — Gm \ sum _
^ <\ infty>k_ <\ frac > ^ >> <\ frac +1> >> P_ (\ cos \ theta)> Однако на самом деле выпуклость отстает на угол α по отношению к направлению на Луну из-за вращения Земли. Таким образом, мы имеем:
U знак равно — грамм м ∑ п знак равно 2 ∞ k п А 2 п + 1 р 0 п + 1 р п + 1 п п ( потому что ( θ — α ) ) <\ displaystyle <\ cal > = — Gm \ sum _
^ <\ infty>k_ <\ frac > ^ r ^ >> P_ (\ cos (\ theta — \ alpha))> Луна находится при r = r 0 , θ = 0. Таким образом, потенциал на единицу массы на Луне равен:
U ( р знак равно р 0 , θ знак равно 0 ) знак равно — грамм м ∑ п знак равно 2 ∞ k п А 2 п + 1 р 0 2 п + 2 п п ( потому что ( α ) ≈ — грамм м k 2 А 5 р 0 6 п 2 ( потому что α ) знак равно — грамм м k 2 А 5 р 0 6 ⋅ 1 2 ( 3 потому что 2 α — 1 ) <\ displaystyle <\ begin
& <\ cal > (r = r_ <0>, \ theta = 0) = — Gm \ sum _ ^ <\ infty>k_ <\ frac > ^ <2n + 2>>> P_ (\ cos (\ alpha) \ приблизительно -Gmk_ <2><\ frac > ^ <6>>> P_ <2>(\ cos \ alpha) \\ [5pt] = <> & — Gmk_ <2><\ frac > ^ <6>>> \ cdot <\ frac <1><2>> (3 \ cos ^ <2>\ alpha -1) \ конец <выровнено>>> Пренебрегая эксцентриситетом и осевым наклоном, Мы получаем крутящий момент, создаваемый выпуклостью на Луне, умножая: на массу Луны m и дифференцируя по θ в месте расположения Луны. Это эквивалентно дифференцированию по α и дает: U <\ displaystyle <\ cal >>
м U ( р знак равно р 0 , θ знак равно 0 ) <\ displaystyle m <\ cal <(r = r_ <0>, \ theta = 0)>>> N знак равно м d U ( р знак равно р 0 , θ знак равно 0 ) d α знак равно 3 2 грамм м 2 k 2 А 5 р 0 6 ⋅ грех ( 2 α ) <\ displaystyle N = m <\ frac
> (r = r_ <0>, \ theta = 0)> > = <\ frac <3><2>> Gm ^ <2>k_ <2><\ frac > ^ <6>>> \ cdot \ sin (2 \ alpha)> Это та же формула , используемая выше , при г = г 0 , и к там определяется как 2 K 2 /3.
Источник
- > \\ [5pt] & < \ frac
Поскольку плотность Земли больше на глубине, ее момент инерции несколько меньше, с f = 0,33.
Для системы Земля-Луна, принимая 1/13 и k = 0,2, мы получаем замедление вращения Земли d Ω / d t = -4,5 × 10 −22 радиан с −2 = -924,37 «cy −2, что соответствует к увеличению длины дня (LOD) на 61 с / цикл 2 или 1,7 мс / день / цикл или 46 нс / день 2. Для 24-часового дня это эквивалентно увеличению на 17 секунд за 1 миллионов лет для LOD, или 1 час (то есть удлинение дня на 1 час) за 210 миллионов лет. Из-за дополнительного 20% -ного воздействия Солнца день удлиняется на 1 час примерно за 180 миллионов лет. чистая теория, не предполагает рассеяния или накопления сил за счет тепла трения, что нереально с учетом воздушных масс, океанов и тектоники.Объекты на орбите системы Земля-Луна аналогичным образом могут истощать инерцию, например: 2020 CD3 грех ( 2 α ) <\ Displaystyle \ грех (2 \ альфа)>
Аналогичный расчет показывает, что Земля через приливное трение передавала угловой момент на самовращение Луны, прежде чем это стало приливной блокировкой . В этот период вычисляется изменение углового момента Луны ω таким же образом, как и для Ω выше, за исключением того, что m и M должны быть поменяны местами, а A следует заменить радиусом Луны a = 1,7 × 10 6 метров. Принимая 10 −1 — 10 −2 для твердых планет и k = 1, это дает замедление вращения Луны d ω / d t = -3 × 10 −17 — −3 × 10 −18 радиан с −2 . За длительный период вращения в 29,5 дней, это эквивалентно 1,5 — 15 минут в 1 год или 1 день в 10 2 — 10 3 лет. Таким образом, в астрономических масштабах времени Луна очень быстро заперла приливную синхронизацию. грех ( 2 α ) <\ Displaystyle \ грех (2 \ альфа)>
Влияние на движение спутника вокруг планеты
Из-за сохранения углового момента, вращающий момент такой же величины, как у спутника, и противоположного направления действует на движение спутника вокруг планеты со стороны планеты. Другой эффект, который здесь не рассматривается, — это изменения эксцентриситета и наклона орбиты.
Момент инерции этого движения равен m r 2 . Однако теперь само r зависит от угловой скорости, которую мы обозначаем здесь n : согласно ньютоновскому анализу орбитального движения :
р 3 п 2 знак равно грамм M <\ Displaystyle г ^ <3>п ^ <2>= GM>
Таким образом, угловой момент орбиты спутника ℓ удовлетворяет (без учета эксцентриситета ):
ℓ знак равно м р 2 п знак равно м грамм M р 1 / 2 N знак равно d L d т знак равно 1 2 м грамм M р — 1 / 2 d р d т d р d т знак равно 2 р 1 / 2 м грамм M N знак равно 9 2 k грамм M м А 5 р 11 / 2 грех ( 2 α ) <\ displaystyle <\ begin