Теория движения солнца по птолемею

В эпоху Гиппарха Солнце проходило через перигей 27 ноября, в эпоху Птолемея — 2 декабря (на 5 сут позже), в наше время Солнце ближе всего к Земле 3 января. Перемещение перигея на 5° в прямом направлении должно было привести к некоторому увеличению длительности осени и лета и к сокращению длительности зимы и весны. На сколько? Расчеты по точным формулам (они приведены у Н.И. Идельсона [54]) показывают, что длительности сезонов между эпохами Гиппарха и Птолемея должны были измениться. на 1 /₄ сут. Но ведь именно такой (и даже большей) была погрешность определений моментов равноденствий и солнцестояний у обоих наблюдателей.

Чтобы выявить смещение перигея Солнца, Птолемей должен был не только повысить точность своих собственных определений моментов равноденствий и солнцестояний хотя бы до ±2 ч (это в принципе было возможно), но и иметь в распоряжении столь же точные наблюдения Гиппарха (а это было вообще невозможно). Поэтому не следует винить Птолемея в том, что он не заметил смещения перигея — он и не мог его заметить. Напротив, получив длины сезонов почти такими же, как и Гиппарх, он с легким сердцем сделал вывод, что перигей Солнца не смещается.

Только аль-Баттани (850—929), имея в распоряжении наблюдения, сделанные на десять с лишним столетий после Гиппарха, когда длительность сезонов заметно изменилась, смог вычислить смещение перигея Солнца. К тому времени оно достигло 16°.

Эти обстоятельства (недостаточная точность наблюдений Гиппарха и Птолемея) были выяснены более 40 лет назад бельгийским историком науки А. Ромом [126], затем на него указали голландские исследователи В. Петерсен и О. Шмидт [121]. (Однако наш расчет был выполнен совершенно независимо и другим методом, чем у них). Авторы указанных работ показали, что ошибка в определении момента солнцестояния или равноденствия всего на 1 ч (!) привела бы к погрешности в определении положения перигея на 1°. Но точность в 1 ч была недоступна ни Гиппарху, ни Птолемею.

Птолемей вычисляет из чисто геометрических соображений, основанных на определениях длительности сезонов, эксцентриситет орбиты Солнца [17. С. 155-157]. Он получает в единицах, где радиус эксцентра равен 60 р , расстояние от Земли до центра эксцентра 2; 29 1 /₂ р . Этой величине соответствует эксцентриситет орбиты 0,04153, что мало отличается от величины, полученной Гиппархом, 0,04167. Величину максимального уравнения центра x_max (см.. с. 32). Птолемей получил равной 2° 23′ (как и Гиппарх).

Здесь нам надо отвлечься на время от расчетов Птолемея и попробовать сравнить теорию движения Солнца Гиппарха—Птолемея с современной теорией движения Земли вокруг Солнца по эллиптической орбите [54]. На основании последней уравнение центра х и расстояние Земли от Солнца r можно следующим образом представить в виде разложения в ряд по степеням эксцентриситета е:

Здесь мы берем отношение r/а, где а — большая полуось эллипса, угол М есть средняя аномалия планеты, т. е. угол, растущий пропорционально времени и принимающий значения М = 0° в афелии и М = 180° в перигелии. В разложении удержаны члены порядка е и е 2 и отброшены, члены с высшими степенями е.

Запишем теперь те же величины по Птолемею, но эксцентриситет, обозначим (по причинам, которые вскоре станут ясны) буквой ε:

Здесь под а будем подразумевать радиус эксцентра, угол М=0° в апогее и М =180° в перигее.

Сравнивая обе группы формул, мы найдем, что члены порядка е в разложении для х совпадут, если положить ε = 2е. Тогда мы будем иметь в гипотезе простого эксцентриситета

Таким образом, в этой гипотезе разность выражений для х по теориям Кеплера и Птолемея составит 3 /₄е 2 sin 2M, что при М = 45° и е = ε/2 = 0,02076 может дать максимальную ошибку 1 в долготе в 3,23 * 10 -4 радиана или 67″.

Различие в оценке относительного радиуса окажется больше, а именно

Как известно, теория эллипса дает следующие расстояния от Земли до Солнца в перигелии и афелии:

тогда как по теории Гиппарха—Птолемея получалось

Если бы Птолемей мог измерять видимый диаметр солнечного диска, он заметил бы, что солнечный диаметр изменяется от перигея до апогея на 4%, а не на 8%, как должно было получаться по его теории 2 .

Но античные наблюдатели интересовались лишь видимыми положениями светил на небесной сфере, а не их расстояниями от Земли, поэтому теория Гиппарха для Солнца вполне устраивала Птолемея, поскольку давала более чем достаточную точность.

Птолемей приводит таблицу аномалий движения Солнца [17. С. 167], т. е. величины х в функции угла М при его изменении от 0 до 360°. Максимальное значение этой величины у него, как мы уже говорили, равно 2°23′ (по Гиппарху).

Последний вопрос, который рассматривает Птолемей в книге III «Альмагеста», это вопрос о неравенстве длительности суток [17. С. 169—172].

Птолемей правильно указывает две причины, влияющие на изменение длительности суток (считая от полудня до полудня) в течение года. Одна из них — это только что рассмотренное первое неравенство, вызываемое эксцентриситетом круговой орбиты Солнца. Вторая причина — изменение моментов прохождения Солнца через меридиан из-за наклона эклиптики к экватору. Даже при равномерном перемещении Солнца по эклиптике сутки были бы неравны между собой, потому что вблизи равноденствий дуге эклиптики в 1° соответствует дуга экватора в 1° cos ε (где ε = 23°51′ — наклон эклиптики к экватору), равная 55′, тогда как вблизи солнцестояний той же дуге соответствует дуга экватора в 66′ (из-за расхождения кругов склонения от полюса к экватору). Нетрудно подсчитать, что в первом случае сутки будут на 44 с короче, чем во втором. Накопление этих разностей приводит к смещению момента истинного полудня относительно среднего. Их разность называется уравнением времени.

Уравнение времени складывается из двух составляющих (рис. 16): уравнения от наклона эклиптики, график которого имеет вид синусоиды с двумя максимумами и двумя минимумами (в дни равноденствий и солнцестояний оно равно нулю), и уравнения от эксцентриситета, выражаемого синусоидой с одним максимумом и одним минимумом (в дни прохождения Солнца через перигей и апогей оно равно нулю). Суммарная кривая, отражающая оба эффекта, имеет более сложный вид: с двумя неравными максимумами и двумя минимумами. На рис. 16 изображен современный график уравнения времени и обеих его составляющих. В эпоху Птолемея этот график имел несколько иной вид все из-за того же смещения солнечного перигея и апогея. Как уже говорилось, Солнце тогда проходило эти точки примерно на месяц раньше, чем в наши дни. Поэтому кривую уравнения от эксцентриситета следует сместить на один месяц влево.

Как видно из рис. 16, амплитуда уравнения от наклона эклиптики составляет ±10 мин, уравнения от эксцентриситета — +7 _-10 мин, она несимметрична относительно нуля из-за особенностей движения по эллипсу. (Как известно, в перигелии Земля движется быстрее и находится ближе к Солнцу, ту же дугу в области перигелия она проходит быстрее). Наибольшего значения —16 мин 23 с — уравнение времени достигает 3 ноября.

Во времена Птолемея не умели чертить графиков, подобных изображенному на рис. 16. В геометрических построениях пользовались только циркулем и линейкой: Птолемей мог вычислить таблицу уравнения времени на каждый день года. Но он не сделал этого. Зато он дал подробные указания к вычислению этой величины, а также (с ее учетом) долготы истинного Солнца на любой день любого года.

Птолемей ввел ряд важных понятий, используемых в астрономии и поныне. К ним относятся и понятие среднего Солнца, и среднего суточного движения, и понятие средней долготы, и уравнение времени. Так что не следует с его именем связывать одни эпициклы, как это делают некоторые авторы популярных книг, преподаватели или лекторы.

1 Здесь и далее у нас будут фигурировать иные оценки ошибок в долготе и радиусе-векторе, чем у Н.И. Идельсона [54], потому что он использовал современное значение е, а мы — его значение в эпоху Птолемея.

2 В наше время это изменение составляет лишь 3,4% из-за векового уменьшения эксцентриситета орбиты Земли.

Источник

В.А. Бронштэн

Астрономические исследования Гиппарха

В отличие от всех античных ученых, с чьими трудами мы познакомились в гл. 2, Гиппарх был, во-первых, «чистый» астроном — он не занимался одновременно вопросами математики, как Архимед или Аполлоний, или философией, как Аристотель, не ограничивал свои исследования узкими прикладными проблемами, как Метон, Эвктемон и Каллипп, не был только лишь наблюдателем, как Аристилл и Тимохарис. В то же время оп не стремился оторваться от привычных представлений о строении мира подобно Гераклиду Понтийскому и Аристарху Самосскому. Гиппарх был весьма разносторонним астрономом. Оп хорошо понимал основные задачи, стоявшие перед астрономией в его эпоху, и приложил все усилия, чтобы их решить или хотя бы способствовать их решению.

Гиппарх работал в не очень благоприятных условиях. У него не было на Родосе коллег и сотрудников, по крайней мере мы ничего о них не знаем. Если Метон и Эвктемон, Аристилл и Тимохарис, Архимед и Эратосфен могли так или иначе общаться друг с другом, то Гиппарх, казалось бы, был лишен такой возможности. Возможно, у него были ученики и ближайшие помощники, но они не оставили следов в истории науки.

Работая на Родосе, Гиппарх не имел в своем распоряжении и Александрийской библиотеки. Правда, научная библиотека на Родосе была, иначе откуда бы он узнал о работах Каллиппа, Тимохариса, Аристилла, Аристарха, Эратосфена и других ученых, чьи наблюдения он использовал. Более того, достоверно известно, что Гиппарх поддерживал связи с александрийскими астрономами того времени и знал об их наблюдениях. Так, он сравнивал наблюдения с экваториальным кольцом момента весеннего равноденствия — 145 марта 24 в Родосе и в Александрии и нашел между ними расхождение на несколько часов [17. С. 134].

В то время не было почты в нашем понимании этого слова. Но переписка была. Например, в 1906 г. было обнаружено письмо Архимеда к Эратосфену, в котором Архимед развивает метод нестрогого доказательства, имеющего целью получение результата, который затем следует доказать уже совершенно строго [87]. Вполне возможно, что для обмена письмами с александрийцами Гиппарх использовал купцов, чьи корабли регулярно поддерживали связь между Родосом и Александрией.

Перейдем к обзору научных исследований Гиппарха в области астрономии. При этом мы не будем вдаваться в подробности, поскольку почти все работы Гиппарха были так или иначе использованы и продолжены Птолемеем, и мы к ним вернемся, когда будем описывать труды последнего.

Работы Гиппарха можно сгруппировать по следующим шести проблемам. Это — проблемы календаря, исследования прецессии, составление звездного каталога, движение Солнца, движение Луны, движение планет.

Проблема календаря имеет давнюю историю, и о некоторых аспектах этой проблемы мы уже говорили. Гиппарх посвятил этой проблеме два своих сочинения, упоминаемых Птолемеем и, увы, не дошедших до нас: «О длительности года» и «Об интеркаляционных месяцах и днях» (так назывались «вставные» месяцы и дни в древних календарях, например тринадцатый месяц, о котором мы уже упоминали) [17. С. 139].

Гиппарх в своих работах использовал каллипповы циклы для нумерации годов. Эти циклы начинались с летнего солнцестояния. Так, первый год первого цикла начался в летнее солнцестояние —329 г. Но для обозначения дат Гиппарх использовал египетский календарь с «плавающим» началом. Во времена Гиппарха египетский год начинался в конце сентября. Это расхождение начал годов каллиппова цикла и египетского календаря могло привести к расхождению на 1 г. в датировке наблюдений, выполненных между началами года по обеим календарным системам. Такие случаи были и не раз обсуждались историками науки. В случае солнечного или лунного затмения такое расхождение разрешается однозначно с помощью «Канонов затмений» или расчетов на ЭВМ, но другие наблюдения могут пострадать от этой неоднозначности.

Одной из задач Гиппарха было определение точной длительности тропического года, т. е. промежутка времени от одного весеннего равноденствия до следующего. Этот период — период смены времен года —играет основную роль и в годовых ритмах живой природы, и в трудовой деятельности человека, в первую очередь в земледелии и скотоводстве. Из-за явления прецессии тропический год на 20 мин короче сидерического года (периода обращения Земли вокруг Солнца или, с точки зрения Гиппарха и Птолемея, Солнца вокруг Земли).

В своем сочинении «О длительности года» Гиппарх доказывает, что тропический год короче 36574 сут на очень маленькую величину, которую можно определить лишь за достаточно длительный промежуток времени. Эта разница будет проявляться в систематическом смещении дат равноденствий и солнцестояний относительно дат каллиппова цикла (в котором, как мы помним, средняя длина года составляет 36574 сут). В этом сочинении Гиппарх утверждает, что за время, прошедшее от наблюдения солнцестояния Аристархом в —279 г. до его собственного наблюдения в — 134 г., т. е. за 145 лет, разница составила половину суток, иначе говоря, одни сутки накапливались за 290 лет. В другом сочинении («Об интеркаляционных месяцах и днях») Гиппарх определяет, что разность в одни сутки накапливается за 300 лет [17. С. 139]. В действительности в эпоху Гиппарха сутки накапливались за 132 года (сейчас — за 128 лет). Таким образом, в определении длительности тропического года Гиппарх допускал ошибку в 6 мин. Его тропический год был короче юлианского (36574 сут) почти на столько же, на сколько он был длительнее действительного значения.

Открытие явления прецессии (предварения равноденствий) является важной научной заслугой Гиппарха. Он пришел к этой идее именно на основании различия длительности сидерического и тропического годов. Это различие было известно еще предшественникам Гиппарха, которые, однако, не могли его объяснить. Гиппарх дал этому явлению правильное объяснение, как видно из заглавия его труда: «О смещении точек солнцестояний и равноденствий» [17. С. 132—133, 327]. В этом он был ближе к истине, чем Птолемей, который считал, что «сфера неподвижных звезд» поворачивается относительно равноденственных точек в прямом направлении, т. е. в сторону возрастающих долгот [17. С. 321].

Гиппарх определил, что прецессия происходит вдоль эклиптики, т. е. изменяются (возрастают) только долготы звезд, а широты остаются неизменными [17. С. 329].

Величину постоянной прецессии Гиппарх мог определить из сравнения положений Спики и других звезд относительно точки осеннего равноденствия в эпоху Тимохариса и в, свое время. Вот что пишет об этом Птолемей в «Альмагесте»: «В своем сочинении „О смещении точек солнцестояний и равноденствий» Гиппарх при точном сравнении наблюдений лунных затмений, выполненных в его время, с теми, которые раньше наблюдал Тимохарис, пришел к выводу, что в его время Спика опережала осеннее равноденствие на 6°, а во времена Тимохариса — на 8°» [17. С. 327]. Таким образом, за 169 лет прецессия по долготе составила 2°, откуда следует, что постоянная прецессии равна 43″ в год.

В цитатах из Гиппарха, приводимых Птолемеем, это значение не фигурирует. Птолемей приводит следующее место из сочинения Гиппарха «О длительности года»: «Если по этой причине солнцестояния и равноденствия за один год отступают по меньшей мере на 1/100 градуса, то они должны отступать по крайней мере на 3° за 300 лет» [17. С. 328]. Таким образом, Гиппарх здесь приводит значение постоянной прецессии 36″ в год в качестве нижнего предела этой величины. Это вполне согласуется с приведенным выше значением 43″, вытекающим из наблюдений Спики.

Ниже мы узнаем, что Птолемей, не придав значения оговоркам Гиппарха (набранным в разрядку), принял в качестве постоянной прецессии именно 36″ в год вместо правильного значения 50″ или хотя бы значения, полученного Гиппархом, 43″ в год. К каким последствиям это привело, мы скоро узнаем.

Величайшей заслугой Гиппарха перед астрономической наукой явилось составление звездного каталога — первого звездного каталога, дошедшего до нас. Этот каталог приводится Птолемеем в «Альмагесте». В нем 1022 звезды [17. С. 341—399]. Птолемей пишет, что он привел в этом каталоге положения звезд по наблюдениям Гиппарха и по своим собственным наблюдениям. Историков науки давно уже беспокоит вопрос, какое количество звезд было в каталоге Гиппарха, а сколько добавил к ним Птолемей. По мнению одних специалистов (Ф. Болл, И.Л. Дрейер), Гиппарх наблюдал положения 850 звезд [98], остальные 175 добавлены Птолемеем. С другой стороны, недавнее исследование американского ученого Д. Роулинса [125] привело его автора к твердому заключению, что все звезды каталога наблюдались именно Гиппархом на широте Родоса (36°), поскольку в нем нет ни одной звезды, которая могла быть видна в более южной Александрии (31°), но не наблюдалась на Родосе. К этому вопросу мы еще вернемся. Важно лишь то, что большая часть звезд каталога наблюдалась именно Гиппархом.

Как бы прелюдией к работе над звездным каталогом явилось единственное сочинение Гиппарха, дошедшее до нас, — «Комментарий к Арату» [114]. Напомним, что Арат — греческий поэт, живший в III в. до п. э. при дворе македонского царя Антигона Гоната и изложивший в одной из своих поэм расположение на небе созвездий и звезд. В «Комментарии к Арату» Гиппарх рассматривает положения на небе около 350 звезд. Но тогда Гиппарх еще не применял последовательно эклиптические координаты — долготу и широту. Из 470 приводимых им координат звезд 64 — склонения, 67 —прямые восхождения (экваториальные координаты) , а остальные — дуги эклиптики от точки весеннего равноденствия до пересечения с кругом склонения звезд, а не с кругом широты, как при счете долгот. Там же приведены моменты восходов, заходов и кульминаций звезд. Это сочинение написано Гиппархом не только до составления звездного каталога, но и до его работ по прецессии [75, 117].

Вот как оценил труд Гиппарха известный римский историк и естествоиспытатель Плиний Старший (23—79 гг. н. э.): «Этот Гиппарх, который не может не заслужить достаточной похвалы, так как он более чем кто-либо доказал родство человека со звездами и то, что паши души являются частью неба, исследовал новую звезду, появившуюся в его время; ее движение в то время, когда она блистала, навело его на мысль, не могут ли часто изменяться и перемещаться те (светила), которые мы считаем неподвижными; поэтому он решился па дело, смелое даже для бога — перечислить для потомства звезды и пересчитать светила, придумав приборы, которыми определил места и яркость отдельных звезд, чтобы можно было легко разобрать: исчезают ли они, появляются ли вновь, не движутся ли или увеличиваются и уменьшаются (в яркости), оставив потомкам небо в наследство, если нашелся кто-нибудь, кто принял бы это наследство» [122].

Эти слова заимствованы из капитального труда Плиния «Естественная история». Новая звезда, о которой идет речь, вспыхнула в созвездии Скорпиона в —133 г. (согласно китайским хроникам, обработанным французским ученым Э. Био). Выражение «ее движение» некоторые ученые переводят как «изменение» (блеска). Однако нет ничего невозможного в том, что очевидцам казалось, будто новая звезда перемещается относительно других.

Характеристика значения труда Гиппарха, данная Плинием, жившим спустя 200 лет после него, вполне может быть подтверждена и в наши дни.

Большое значение имело построение Гиппархом теории движения Солнца. Обнаруженное еще Эвктемоном и уточненное Каллиппом, а затем самим Гиппархом неравенство длительностей сезонов позволило Гиппарху получить все данные об орбите Солнца вокруг Земли. Гиппарх считал, что Солнце движется по эксцентру, и принял так называемую гипотезу простого эксцентриситета. Она состоит в следующем [54].

Представим себе (рис. 2) круг расположенный эксцентрично по отношению к эклиптике, но имеющий с ней одинаковый радиус. Отношение расстояния ОТ между центрами обоих кругов к радиусу назовем эксцентриситетом.

Точка С на эксцентре, ближайшая к Земле (т.е. к центру эклиптики), называется перигеем, самая далекая А — апогеем. Предполагается, что Солнце движется по эксцентру равномерно.

Гиппарх сначала определил среднее суточное движение Солнца. Для этого он поделил 360° на определенную им ранее длину тропического года — 365,24667 сут. Получилась величина μ=3548,287″, которая лишь на 0,042″ меньше действительной [54].

Проведем через точку Т (Землю) две взаимно перпендикулярные прямые, которые отсекут на эксцентре четыре неравные дуги. Одна из этих прямых должна пройти через точки равноденствий, другая — через точки солнцестояний. Требуется так подобрать эксцентриситет и долготу перигея, чтобы дуги АВ, ВС, CD и DA были бы пропорциональны длительностям соответствующих сезонов.

Гиппарх решил эту геометрическую задачу и получил [17. С. 155, 157, 166] эксцентриситет ε = 1 /₂₄, долготу перигея Солнца П=65°30′ и наибольшее уравнение центра Солнца x_max = arcsin ε =2°23′. Уравнением центра Гиппарх называл отклонение положения центра Солнца от среднего Солнца, движущегося по эклиптике со средним суточным движением μ (равномерно) и выходящим из точки весеннего равноденствия одновременно с центром истинного Солнца. Это отклонение истинного Солнца от среднего получило название первого неравенства.

Обратим здесь внимание читателя на то, что термины «уравнение» и «неравенство» имели в те времена иные значения, чем теперь. Ими обозначались не математические выражения типа ах=b или а 1 .