Работа совершаемая силой притяжения солнца

Им. В. И. Вернадского

Главная > Документ

2.4. Основы теории приливов

2.4.1. Приливообразующие силы и их потенциал

На каждую частицу Земли действуют:

сила притяжения частицы к центру Земли;

центробежная сила, возникающая при вращении Земли вокруг своей оси;

центробежная сила, возникающая при обращении системы Земля — Луна вокруг общего центра тяжести;

центробежная сила, возникающая при обращении системы Земля — Солнце вокруг общего центра тяжести;

сила притяжения к центру Луны;

сила притяжения частицы к центру Солнца.

Сила притяжения к центру Земли и центробежная сила, возникающая при вращении Земли вокруг своей оси постоянны во времени , их равнодействующая является силой тяжести. Поскольку сила тяжести для данной точки Земли является величиной постоянной , она не участвует в создании прилива и поэтому ее можно не учитывать.

Силы притяжения Луны и Солнца в отдельных точках Земли неодинаковы (переменны) и зависят от расстояния от этих точек до центров соответственно Луны и Солнца.

Центробежные силы систем Земля — Луна и Земля — Солнце для каждой точки Земли одинаковы и равны силам притяжения Луны и Солнца, но только в центре Земли . Это вполне понятно, так как в противном случае расстояние между Землей и Луной и Землей и Солнцем или увеличивалось бы или уменьшалось.

Равнодействующая всех сил, действующих на частицу Земли, оказывается переменной .

Для простоты рассуждения положим, что на частицу Земли действует только приливообразующая сила Луны, и рассмотрим вначале только взаимодействие в системе Земля — Луна вокруг их общего центра тяжести (приливообразующая сила Солнца выводится аналогично). При этом суточное вращение Земли и движение всей системы вокруг Солнца во внимание не принимается.

Общий центр тяжести между Землей и Луной находится на расстоянии 0.73 земного радиуса, то есть внутри тела Земли (в системе Земля — Солнце общий центр тяжести системы лежит внутри Солнца). Система Земля — Луна совершает полный оборот вокруг общего центра тяжести за лунный месяц (27 1 / 2 суток).

2 4.1.1. Приливообразующие силы

Силы притяжения Луны.

Возьмем систему прямоугольных координат с началом в центре Земли.

Поместим плоскость XOY так, чтобы она совпала с плоскостью экватора, а ось Z направим вертикально вверх (рис. 26). Пусть масса Луны – М л , а точка Р расположена на поверхности океана и представляюет некоторую частицу, масса которой равна единице. Ее координаты – x,y,z, расстояние от нее до Луны равно D, а до центра Земли — ρ (радиус Земли). Расстояние от центра Земли до центра Луны – r л а приведенное к центру Земли зенитное расстояние Луны (угол между направлением на Луну и точку Р из центра Земли) — z л .

Согласно 1-му закону Ньютона, сила притяжения пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Поэтому на частицу единичной массы, находящуюся в точке Р 1 , будет действовать сила притяжения F р, равная по величине:

а на частицу, расположенную в центре Земли (О), сила притяжения F 0 :

F o = kM л / r л 2 ,

где k – коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной.

Силы притяжения к Луне частиц на поверхности океана и в центре Земли неодинаковы, так как удаление их от центра притяжения Луны различно.

Рис. 26. К выводу потенциала приливообразующих сил

Сила притяжения, действующая на частицы, находящиеся в центре Земли (в точке О) (), равна по величине центробежной силе , возникающей от обращения системы „Земля — Луна” вокруг их общего центра тяжести, но обратна ей по направлению. В векторной форме это запишется так:

Силы притяжения Луны, действующие на частицы, расположенные вне центр а Земли, не уравновешены центробежной силой. Поэтому эти частицы будут смещаться относительно центра Земли.

В результате в каждой точке Земли вследствие геометрического сложения силы притяжения Луны в данной точке и центробежной силы возникает равнодействующая , которая и является приливообразующей силой :

= +

Поскольку сила притяжения в центре Земли равна по величине и обратна по направлению центробежной силе системы „Земля — Луна”, то есть: , то приливообразующую силу Луны можно представить и как разность сил притяжения Луны в данной точке ( Р ) и в центре Земли (О):

На половине Земли, обращённой к Луне, , поэтому векторы приливообразующих сил направлены к Луне (рис. 27).

На противоположной половине наоборот, , поэтому векторы приливообразующих сил направлены от Луны .

Приливообразующая сила в результате сложения силы притяжения и центробежной силы будет равна:

Аналогично, приливообразующая сила Солнца равна:

,

Рис. 27. Равнодействующие или приливообразующие силы Луны

в каждой точке Земли

где F c — приливообразующая сила Солнца, М с — масса Солнца, r с — расстояние между центрами Земли и Солнца).

В образовании прилива основную роль играют горизонтальные составляющие приливообразующих сил, направленные по касательной к поверхности Земли (оси Х и Y). Вертикальная составляющая в величине приливообразующей силы практически роли не играет, она изменяет только силу тяжести.

Приливообразующие силы наибольшие и равные друг другу в зените и надире (если пренебречь радиусом Земли по сравнению с расстоянием до Луны). (В действительности приливообразующая сила в зените на 1/43 больше, чем в надире). На полюсах приливообразующие силы вертикальны и минимальны.

Вместо приливообразующих сил в теории приливов более удобно пользоваться их потенциалом .

Потенциал силы — это функция, частные производные которой (то есть изменения которой) в заданном направлении равны проекциям силы на соответствующие направления (на оси координат х, y, z).

Если обозначить потенциал приливообразующей силы Луны через V л , то согласно определению для проекций сил на оси координат х, y, z будем иметь:

Правые части этих равенств известны. Поэтому совместное решение трёх уравнений (интегрирование) даёт значение потенциала:

Отсюда выражение для потенциала лунной приливообразующей силы имеет вид:

Аналогично находится потенциал приливообразующей силы Солнца:

,

где М с — масса Солнца;

r c — расстояние между центрами Земли и Солнца;

z c — зенитное расстояние Солнца, приведённое к центру Земли.

Полный потенциал приливообразующих сил Луны и Солнца будет равен сумме потенциалов:

Если подставить в формулы средние значения масс Луны и Солнца, их расстояний от Земли, то можно убедиться, что приливообразующая сила Луны в среднем в 2.17 раза больше приливообразующей силы Солнца .

Сравним величины составляющих приливообразующих сил Луны с силой тяжести, действующей на единицу массы. Подстановка числовых значений величин в формулы дает средние значения составляющих приливообразующей силы Луны:

; ,

где F л(г) — горизонтальная составляющая, F л(в ) — вертикальная составляющая , g — ускорение силы тяжести.

Таким образом, и горизонтальная, и вертикальная составляющие приливообразующей силы Луны и Солнца оказываются очень малыми по сравнению с силой тяжести. При этом вертикальная составляющая, хотя она и несколько больше горизонтальной, совершает работу против силы тяжести и лишь незначительно изменяет вес частиц воды, не выказывая никакого движения, так как она в 9 миллионов раз меньше силы тяжести.

Горизонтальная составляющая, действующая перпендикулярно к силе тяжести, вызывает значительные горизонтальные перемещения частиц воды, что и влечет за собой поднятие или опускание уровня моря.

2.4.2. Статическая теория приливов

В 1687 году Ньютон на основе закона всемирного тяготения предложил первую теорию приливов — статическую теорию (а также решил задачу расчета потенциала приливообразующих сил, приведенную ранее). Статическая теория имеет ряд недостатков и непригодна для предвычисления приливов, однако все же позволяет качественно объяснить некоторые особенности явления приливов.

Допущения статической теории:

океан покрывает Землю сплошным слоем одинаковой глубины (z = const);

влияние физико-географических условий исключено;

свободная поверхность океана находится в равновесии под действием силы тяжести и приливообразующей силы и моментально реагирует на действие последней. Следовательно, в любой момент времени потенциал приливообразующих сил равен разности потенциалов силы тяжести на среднем уровне и уровне прилива.

Потенциал силы тяжести представляет функцию, производная от которой по направлению нормали к поверхности равных значений потенциала — изопотенциальной поверхности равна силе тяжести.

Для единичной массы выражение потенциала силы тяжести Г запишется следующим образом:

, где

g — ускорение силы тяжести, равное по величине силе тяжести единицы массы;

h — направление нормали к изопотенциальной поверхности.

Из этого соотношения получим выражение потенциала силы тяжести:

Потенциал силы тяжести на среднем уровне обычно принимается равным нулю. Тогда потенциал силы тяжести представляет собой работу, совершаемую против силы тяжести, при перемещении единицы массы от среднего уровня на высоту h.

Из допущения статической теории (так как приливообразующая сила уравновешена силой тяжести) в каждый момент времени должно удовлетворяться равенство:

(Потенциал силы тяжести равен полному потенциалу приливообразующих сил Луны и Солнца).

Подставив значение потенциала силы тяжести, получим:

,

Для определения высоты прилива необходимо в эту формулу подставить значения потенциалов приливообразующих сил Луны и Солнца. Тогда получим:

Анализ этой формулы показывает, что если бы действовала только приливообразующая сила Луны, то поверхность океана приняла бы форму эллипсоида вращения, большая ось которого была бы направлена на Луну. В случае действия одного Солнца большая ось эллипсоида вращения была бы направлена на Солнце. При одновременном действии Луны и Солнца поверхность океана можно получить геометрическим суммированием лунного и солнечного эллипсоидов вращения .

По формуле статической теории приливов можно подсчитать, что при среднем расстоянии Земли от Луны и Солнца должны были бы наблюдаться следующие величины лунных и солнечных приливов: h л = 0.54 м; h с = 0.25 м.

Следовательно, для сизигийных приливов:

В этих же условиях для квадратурных приливов:

Максимальная величина сизигийного прилива оказывается равной
0.9 м.

Минимальная квадратурного — 0.2 м.

Близкие к рассчитанным по статической теории величины приливов наблюдаются у побережий островов в открытом океане. Это говорит о том, что различие в величинах приливов у берегов континентов создаётся вследствие влияния физико-географических условий района.

На основании статической теории можно дать объяснение полумесячным, месячным и суточным неравенствам.

Полумесячное фазовое неравенство приливов объясняется наблюдающимся в течение полумесяца постепенным смещением лунного и солнечного приливных эллипсоидов друг относительно друга.

В дни сизигии Луна и Солнце кульминируют одновременно, лунный и солнечный эллипсоиды прилива складываются, поэтому подъём уровня, вызванный действием Луны, увеличивается за счёт действия Солнца. Понижение уровня при отливе равно сумме понижений, производимых Луной и Солнцем. Следовательно величина прилива будет наибольшей, наблюдается сизигийный прилив ( рис.28).

Рис. 28. Сочетания лунного и солнечного приливов, объясняющие возникновение сизигийного и квадратурного приливов

В квадратуры большие оси лунного и солнечного эллипсоидов взаимно перпендикулярны и эллипсоиды вычитаются. Так как лунный прилив больше солнечного, то результирующий эллипсоид будет направлен большой осью на Луну, однако высота подъёма уровня под действием Луны будет уменьшена отливом, вызываемым Солнцем. Высота же малой воды будет увеличена приливом под действием Солнца. Прилив будет наименьшим, наблюдается квадратурный прилив.

Гребень волны суммарного лунно-солнечного прилива всегда лежит ближе к гребню лунного прилива, так как последний в два раза больше солнечного. Поэтому удобнее определять время наступления полной воды по отношению к моменту кульминации Луны, а не Солнца. В дни сизигии, когда оба светила кульминируют в одно время, моменты полных вод вызываемых ими приливов, совпадают, и полная вода суммарного прилива должна наступить одновременно с кульминацией Луны.

В действительности и в это время моменты полной воды и кульминации Луны отстоят друг от друга на среднее значение лунного промежутка. Объяснения этому явлению статическая теория не даёт (по Дуванину).

По мере того, как Луна отстаёт в своем движении от Солнца (на 50 минут в сутки), полные воды лунного и солнечного приливов будут смещаться относительно друг друга и моменты полной воды суммарного прилива будут удаляться от момента кульминации Луны (происходит смещение времени суммарного прилива от времени лунного прилива; это объясняет полумесячное изменение лунных промежутков за счёт фазового неравенства).

В квадратуре , когда разность между кульминациями Луны и Солнца достигнет 6 часов, момент наступления полной воды суммарного прилива вновь совпадет (по статической теории, но в действительности это не так) с кульминацией Луны.

Когда разность превысит 6 часов , момент полной воды суммарного прилива снова будет удаляться от момента кульминации Луны до следующей сизигии.

Суточные и полумесячные неравенства в суточных приливах обусловлены склонением Луны. В свете выводов статической теории можно рассмотреть также механизм возникновения суточных неравенств.

Пусть РР 1 — ось вращения Земли, ЕQ — экватор, ZN — направление на Луну, DF — круг освещения (рис.29). Согласно статической теории большая ось эллипсоида вращения, характеризующего поверхность океана, направлена на Луну. Для наблюдателя, находящегося в точке А, полная вода наступит в момент верхней кульминации Луны. Малая вода наступит для него тогда, когда точка А вследствие вращения Земли придёт на круг освещения (в точку С). Это случится не через 6 часов 12 минут после полной воды, а позже, потому что дуга параллели АС составляет больше четверти окружности.

Следующая после малой полная вода наступит, когда наблюдатель будет в точке А’, через 12 часов 25 минут после первой полной воды, но менее чем через 6 часов 12 минут, после предшествовавшей малой воды, так как дуга СА’ меньше четверти окружности.

При этом полная вода в А будет иметь большую высоту, чем в А’. После полной воды A’ следующая малая наступит скорее, чем через 6 часов 12 минут, когда наблюдатель вновь будет на круге освещения. Через 24 часа 50 минут после первой полной воды наблюдатель снова будет в точке А и снова будет полная вода.

Для других мест земного шара высоты полных вод при верхней и нижней кульминации Луны также неодинаковы, так как приливный эллипсоид расположен несимметрично относительно оси вращения Земли. Только на экваторе обе полные воды будут одинаковой высоты, то есть суточных неравенств не будет при любом склонении Луны, а наибольшие приливы будут при склонении Луны равном нулю.

На полюсах уровень в течение суток меняться не будет, то есть прилив будет отсутствовать. Будут отмечаться только колебания уровня с периодом, равным половине лунного месяца.

Таким образом, в те дни, когда склонение Луны не равно нулю суточное неравенство в высоте сопровождается неравенством во времени, вследствие которого первая малая вода наступает позже, чем через 6 часов 12 минут после предшествующей полной, а вторая — раньше.

Рис. 29. Суточное неравенство приливов, зависящее от склонения светила

Для солнечных приливов период суточного тропического неравенства равен полугоду, так как в течение этого времени Солнце возвращается к экватору.

Месячные (параллактические) неравенства обусловлены изменением расстояния от Земли до Луны . Из формулы статической теории следует, что высота прилива обратно пропорциональна кубу расстояния между центром Земли и центром возмущающегося светила. Поэтому высота прилива при наименьшем расстоянии — в перигее, оказывается больше, чем при наибольшем — в апогее для Луны на 30%, а для Солнца на 10%.

Недостатки статической теории приливов:

сочетание солнечных и лунных приливов в Мировом океане, разделенном материками, не происходит по описанной идеальной схеме;

не объясняется пестрое распределение величин и характера приливов в океанах и морях;

не дается объяснения возникновению лунных промежутков и возрастов приливов, сильно усложняющих приливные явления;

полное теоретическое объяснение наблюдающихся в природе приливов остается открытой проблемой;

статическая теория, давая объяснения некоторым особенностям в явлении прилива с качественной стороны, не пригодна для практических расчетов . Причина этого заключается в том, что допущения, лежащие в основе теории, не соответствуют действительности ;

статическая теория объясняет лишь действие космических сил, то есть причины , вызывающей приливные движения, поведение же самих приливов она не объясняет.

Ранее были сделаны допущения, что океан покрывает Землю слоем постоянной глубины, что океан неподвижен, статичен , но известно, что это не так, что он динамичен и изменчив . Существуют факторы на самой Земле, которые никак или почти никак не связаны с астрономией, но оказывают огромное влияние на приливы.

Таким образом можно сделать некоторые выводы о силах, вызывающих приливы:

Луна — главный приливообразующий фактор ; она совершает кажущийся оборот вокруг Земли каждые 24 часа 50 минут (имеется в виду фиктивная Луна, которая равномерно обращается вокруг неподвижной Земли). Сложение силы притяжения Луны с центробежной силой приводит к появлению приливных горбов как под Луной, так и в точке, находящейся на противоположной стороне Земли.

Солнце, вследствие большей удаленности от Земли, является вторым по важности приливообразующим фактором ; оно также создает два приливных горба, но они значительно меньше.

Когда Солнце и Луна находятся на одной прямой относительно Земли, либо по одну сторону от нее, либо с противоположных сторон, их приливообразующие силы объединяются и образуют сизигийные приливы, которые на 20% выше обычного.

Когда Солнце находится под прямым углом к Луне, его притяжение противодействует притяжению Луны, тем самым уменьшая лунные приливы; в этом случае образуются квадратурные приливы, которые на 20% ниже обычных. (Если угол между Солнцем и Луной отличается от прямого, Солнце видоизменяет лунные приливы, либо несколько увеличивая их (в секторе 0-90°), либо уменьшая (в секторе 90-180°).

Когда Луна, обращающаяся вокруг Земли по эллиптической орбите каждые 27½ дней , достигает перигея , то есть точки, ближайшей к земной поверхности, наблюдаются приливы на 20% выше обычных — перигейные приливы. Когда Луна достигает апогея , то есть точки, наиболее удаленной от поверхности Земли, наблюдаются приливы на 20% ниже обычных — апогейные приливы.

Когда Луна находится к северу или к югу от экватора, ее приливообразующая сила стремится из полусуточной превратиться в суточную. При наибольшем склонении Луны будут наибольшие приливы — тропические. При нулевом склонении (Луна над экватором) будут наименьшие приливы — равноденственные .

То же справедливо и для Солнца. Когда же Солнце и Луна находится над экватором или вблизи от него, их приливообразующие силы являются полусуточными.

Источник