Решение астрономических задач
Каково увеличение телескопа, сделанного из очковых стекол, если в качестве его объектива используется линза, оптическая сила которой 0,5 дптр, а в качестве окуляра линза с оптической силой 10 дптр?
Решение: Увеличение телескопа равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра 
. В данном случае увеличение телескопа составит 
раз.
2. Путешественники заметили, что по местному времени затмение Луны началось в 4 ч 13 мин, тогда как по астрономическому календарю это затмение должно было состояться в 2 ч 51 мин по всемирному времени. Какова их долгота?
Решение: Воспользовавшись соотношением, связывающим среднее солнечное время Tm, всемирное время T0 и долготу λ, выраженную в часовой мере: Tm = T0 +λ, получим:
λ = Tm – T0 = 3 ч 13 мин – 2 ч 51 мин = 1ч 22 мин.
Ответ: 1ч 22 мин.
3. Через какой промежуток времени повторяются противостояния Марса, если звездный период его обращения вокруг Солнца равен 1,9 года?
Воспользовавшись уравнением синодического движения для верхних планет 
, где T – сидерический, или звездный период обращения планеты, T⊕ – сидерический период обращения Земли (звездный год), равный 365,26 средних солнечных суток, найдем:
=2,1 года.
Большая полуось орбиты Сатурна 9,5 а. е. Каков звездный период его обращения вокруг Солнца?
Среднее расстояние планеты от Солнца равно большой полуоси эллиптической орбиты a. Из третьего закона Кеплера 
, сравнивая движение планеты с Землей, для которой, приняв звездный период обращения T2 = 1 год, а большую полуось орбиты a2 = 1 а. е., получим выражение 
для определения звездного периода обращения, выраженного в годах. Подставив численные значения, найдем:
≈ 29,3 лет.
Ответ: около 29,3 лет.
5.На какое максимальное угловое расстояние от Солнца может удалятся Земля для наблюдателя, находящегося на астероиде, который движется по круговой орбите с периодом Т = 3 года?
Определим радиус орбиты астероида. По третьему закону Кеплера 
приняв звездный период обращения T2 = 1 год, а большую полуось орбиты
a2 = 1 а. е., получим выражение 
а. е.
Тогда искомый угол будет равен arcsin(1а. е./2,1а. е.)=28°.
6. На каком расстоянии от Земли (в астрономических единицах) находится Сатурн, когда его горизонтальный параллакс равен 0,9″?
Из формулы для определения геоцентрических расстояний 
, где с – горизонтальный параллакс светила, R⊕ = 6378 км – средний радиус Земли, определим расстояние до Сатурна в момент противостояния:
≈ 14,6⋅108 км. Разделив это значение на величину астрономической единицы, получим 14,6⋅108 км / 149,6⋅106 км ≈ 9,76 а. е.
Ответ: 14,6⋅108 км ≈ 9,76 а. е.
7. Во сколько раз масса Урана больше массы Земли, если известно, что расстояние до его спутника Оберон составляет 5,82⋅105 км, а период обращения спутника равен 13,46 сут. Расстояние Луны от Земли составляет 3,8⋅105 км, а период обращения 27,3 сут.
Решение: Для определения масс небесных тел нужно воспользоваться третьим обобщенным законом Кеплера: 
. Так как массы планет M1 и М2 значительно меньше, чем массы их спутников m1 и m2, то массами спутников можно пренебречь. Тогда закон Кеплера можно переписать в следующем виде: 
, где а1 – большая полуось орбиты спутника первой планеты с массой M1, T1 – период обращения спутника первой планеты, а2 – большая полуось орбиты спутника второй планеты с массой M2, T2 – период обращения спутника второй планеты.
Подставив соответствующие значения из условия задачи, получим:
= 14,78.
Ответ: в 14,78 раз.
8. Средняя температура на поверхности Земли равна 16°С. Какая средняя температура была бы на поверхности Венеры, если бы планета обладала земной атмосферой? Среднее расстояние Венеры от Солнца составляет 0,72 а. е.
Решение: Энергии, получаемые Землей и Венерой обратно пропорциональны квадратам их расстояний от Солнца r. Считая, что отражательная способность этих небесных тел одинакова, то процент энергии, идущий на нагрев этих тел, будет одинаков. Согласно закону Стефана-Больцмана энергия, излучаемая единицей поверхности в единицу времени пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры тела 
. Таким образом, для энергии, поглощаемой Землей можем записать 
, где rз – расстояние от Солнца до Земли, Tз –средняя температура на поверхности Земли, а Венерой – 
, где rв – расстояние от Солнца до Венеры, Tв –средняя температура на поверхности Венеры. Взяв отношение, получим: 
, отсюда 
=
341°K = (341°K – 273°K) =68°С.
9. Годичный параллакс Веги (α Лиры) составляет 0,129″. Чему равно расстояние до этой звезды в парсеках и световых годах?
Расстояния до звезд в парсеках определяется из соотношения 
, где
р – годичный параллакс звезды. Поэтому 
= 7,75 пк. Так 1 пк = 3,26 св. г.,
то расстояние до Веги в световых годах будет составлять
7,75 пк · 3,26 св. г. = 25,27св. г.
Ответ: 7,75 пк или 25,27 св. г.
10. В далекой галактике вспыхнула сверхновая звезда. Ее максимальная видимая звездная величина составила 20m. Известно, что абсолютная звездная величина сверхновых такого типа в максимуме блеска может достигать –20m. Оцените расстояние до галактики в световых годах.
Из соотношения 
, связывающего абсолютную звездную величину M с видимой звездной величиной m и расстоянием до звезды r, выраженному в парсеках, получим: 
=
. Отсюда r =1 000 000 000 пк = 1000 000 000 пк · 3,26 св. г. =3 260 000 000 св. л.
Ответ: 3 260 000 000 св. л.
11. Один из самых близких квазаров 3C 273 имеет красное смещение z = 0,158. Определите расстояние до квазара. Считать, что постоянная
Хаббла H = 70 км/(с∙Мпк).
Запишем закон Хаббла: 
, где v – лучевая скорость удаления галактики (квазара), r – расстояние до нее, H – постоянная Хаббла. С другой стороны, согласно эффекту Доплера, лучевая скорость движущегося объекта равна 
, с=3∙105 км/с – скорость света, л0 – длина волны линии в спектре для неподвижного источника, л – длина волны линии в спектре для движущегося источника, 
– красное смещение. А так как красное смещение в спектрах галактик интерпретируется как доплеровское смещение, связанное с их удалением, закон Хаббла часто записывают в виде: 
. Выразив расстояние до квазара r и, подставив значения из условия задачи, получим:
≈ 677Мпк = 677 Мпк · 3,26 св. г. ≈ 2,2 млрд. св. л.
Источник
Ключи к олимпиадным заданиям по астрономии 7-8 класс
Ключи к олимпиадным заданиям по астрономии 7-8 КЛАСС
Задача 1. Астроном на Земле наблюдает полное лунное затмение. Что в это время может наблюдать космонавт на Луне?
Решение: Если на Земле наблюдается полное лунное затмение, наблюдатель на Луне сможет увидеть полное солнечное затмение — Земля закроет собой солнечный диск.
Задача 2. Какие доказательства шарообразности Земли могли быть известны античным ученым?
Решение: Доказательства шарообразности Земли, известные древним ученым:
округлая форма края земной тени на диске Луны во время лунных затмений; постепенное появление и исчезновение судов при их приближении и удалении от берега; изменение высоты Полярной звезды при перемене широты места наблюдения; удаление горизонта по мере подъёма вверх, например, на вершину маяка или башни.
Осенней ночью охотник идёт в лес по направлению на Полярную звезду. Сразу после восхода Солнца он возвращается обратно. Как должен ориентироваться охотник по положению солнца?
Решение: Охотник шёл в лес на север. Возвращаясь, он должен двигаться на юг. Поскольку Солнце осенью вблизи равноденствия, оно восходит недалеко от точки востока. Следовательно, нужно идти так, чтобы Солнце было слева.
Какие светила видны днём и при каких условиях?
Решение:Солнце, Луна и Венера видны невооружённым глазом, а звёзды до 4m – с помощью телескопа.
Задача 5. Определите, у каких небесных объектов вследствие суточного вращения Земли не изменяются прямое восхождение, склонение, азимут и высота? Существуют ли такие объекты? Привести пример:
Решение: В случае, если звезда находится в Северном или Южном полюсе мира, все четыре координаты для наблюдателя в любом месте на Земле будут неизменны в связи с вращением планеты вокруг оси. Вблизи Северного полюса мира есть такая звезда — Полярная.
Ключи к олимпиадным заданиям по астрономии 9 КЛАСС
Задача 1. Пароход, покинув Владивосток в субботу 6 ноября, прибыл в Сан-Франциско в среду 23 ноября. Сколько суток он был в пути?
Решение: Пароход на пути в Сан-Франциско пересёк линию перемены дат с запада на восток, при этом вычитаются одни сутки. Количество суток в пути равно 23 – (6 – 1)=18 суток.
Задача 2. Высота звезды, находящейся на небесном экваторе в момент её верхней кульминации равна 30°. Какова высота Полюса Мира в месте наблюдения? (Можно для наглядности сделать рисунок).
Решение: Если звезда в верхней кульминации на небесном экваторе, h = 900 — φ. Следовательно, широта места φ = 900 – h = 600. Высота Полюса Мира равна широте hp= φ = 600
Задача 3. 4 марта 2007 года произошло полное Лунное затмение. Какая и где была Луна на небе через две недели сразу после захода Солнца?
Решение. Лунное затмение наблюдается в фазе полнолуния. Так как между фазой полнолуния и новолуния проходит чуть меньше, чем две недели, то через две недели сразу после захода Солнца, Луна будет видна в виде узкого серпа над горизонтом в его западной стороне.
Задача 4. В конце XIX в. Некоторые ученые полагали, что источником энергии Солнца является химические реакции горения, в частности, горения угля. Приняв, что удельная теплота сгорания угля q = 107 Дж/кг, масса Солнца 2 * 1030 кг, а светимость 4 * 1026 Вт, приведите веские доказательства неправильности этой гипотезы.
Решение. Запасы тепла без учета кислорода составляют Q = qM = 2*1037 Дж. Этого запаса хватит на время t = Q:L = 2 *1037 /( 4* 1026 )= 5 * 1010 с = 1700 лет. Юлий Цезарь жил более 2000 лет назад, динозавры вымерзли около 60 млн. лет назад, так, что за счет химических реакций Солнце светить не может. (Если кто-то скажет о ядерном источнике энергии, то это будет здорово.)
Задача 5. Как доказать, что Луна состоит не из чугуна, если известно, что ее масса в 81 раз меньше массы Земли, а радиус примерно в четыре раза меньше земного? Считать плотность чугуна примерно в 7 раз больше плотности воды.
Решение. Самое простое — это определить среднюю плотность Луны и сравнить её с табличным значением плотности для разных материалов: р = m/V. Тогда, подставив массу и объем Луны в это выражение в долях земных размеров, получим: 1/81:1/43=0,8.Средняя плотность Луны составляет всего 0,8 плотности Земли (или 4,4 г/см3-истинное значение средней плотности Луны 3,3 г/см3). Но и это значение меньше плотности чугуна, которая примерно 7г/см3.
Ключи к олимпиадным заданиям по астрономии 10-11 КЛАСС
Задача 1. Солнце на северном полюсе взошло на меридиане г. Екатеринбурга (л= 60°30` в. д.). Где (приблизительно) оно взойдёт в следующий раз?
Решение: С восходом Солнца на Северном полюсе начался полярный день. В следующий раз Солнце взойдёт в начале следующего полярного дня, т. е. ровно через год.
Если бы за год Земля совершала целое число оборотов вокруг своей оси, то следующий восход тоже был бы на нашем меридиане. Но Земля совершает примерно на четверть оборота больше (отсюда берётся високосный год).
Эта четверть оборота соответствует повороту Земли на 900 и поскольку её вращение происходит с запада на восток, солнце взойдёт на меридиане с долготой 60.50 в. д. – 900= — 29.50, т. е. 29.50 з. д. На этой долготе находится восточная часть Гренландии.
Задача 2. Путешественники заметили, что по местному времени затмение Луны началось в 5 часов 13 минут, тогда как по астрономическому календарю это затмение должно начаться в 3 часа 51 минуту по Гринвичскому времени. Какова географическая долгота места наблюдения путешественников?
Решение: Разность географических долгот двух пунктов равна разности местных времён этих пунктов. В нашей задаче известно местное время на пункте, где наблюдалось затмение Луны 5 час 13 мин и местное гринвичское (Всемирное) время начала этого же затмения 3 час 51 мин, т. е. местное время нулевого меридиана.
Разность этих времён составляет 1 час 22 мин, значит, долгота места наблюдения затмения Луны составляет 1 час 22 мин восточной долготы, т. к. время на этой долготе больше гринвичского.
Задача 3. С какой скоростью и в каком направлении должен лететь самолёт на широте Екатеринбурга, чтобы местное солнечное время для пассажиров самолёта остановилось?
Решение: Самолёт должен лететь на запад со скоростью вращения Земли V = 2рR/Т
На широте Екатеринбурга R = Rэкв * cos φ, φЕ ≈ 570
V = 2р * 6371 * cos 570/24 * 3600 = 0.25 км/с
Задача 4. В конце XIX в. Некоторые ученые полагали, что источником энергии Солнца является химические реакции горения, в частности, горения угля. Приняв, что удельная теплота сгорания угля q = 107 Дж/кг, масса Солнца 2 * 1030 кг, а светимость 4 * 1026 Вт, приведите веские доказательства неправильности этой гипотезы.
Решение: Запасы тепла без учета кислорода составляют Q = qM = 2 *1037 Дж. Этого запаса хватит на время t = Q:L = 2* 1037 / 4* 1026 = 5* 1010 с = 1700 лет. Юлий Цезарь жил более 2000 лет назад, динозавры вымерзли около 60 млн. лет назад, так, что за счет химических реакций Солнце светить не может. (Если кто-то скажет о ядерном источнике энергии, то это будет здорово.)
Задача 5. Попробуйте найти полный ответ на вопрос: при каких условиях нигде на планете не происходит смена дня и ночи.
Решение: Чтобы нигде на планете не происходила смена дня и ночи, требуется одновременное выполнение трёх условий:
а) угловые скорости орбитального и осевого вращения должны совпадать (продолжительность года и звёздных суток одинакова),
б) ось вращения планеты должна быть перпендикулярна плоскости орбиты,
в) угловая скорость орбитального движения должна быть постоянна, планета должна иметь круговую орбиту.
Источник