Планета движется вокруг солнца момент импульса сохраняется

В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами. Очень непросто наблюдать гравитационное взаимодействие и между различными окружающими нас телами, даже если их массы составляют многие тысячи килограмм. Однако именно гравитация определяет поведение «больших» объектов, таких, как планеты, кометы и звезды, именно гравитация удерживает всех нас на Земле.

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства.

Закономерности движения планет с давних пор привлекали внимание людей. Изучение движения планет и строения Солнечной системы и привело к созданию теории гравитации – открытию закона всемирного тяготения.

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем (

140 г.). В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Рисунок 1.24.1.

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы. Кеплер использовал результаты наблюдений за движением планет датского астронома Т. Браге.

Первый закон Кеплера (1609 г.):

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка траектории называется перигелием , точка , наиболее удаленная от Солнца – афелием . Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Рисунок 1.24.2.

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон Кеплера (1609 г.):

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Рис. 1.24.3 иллюстрирует 2-й закон Кеплера.

Рисунок 1.24.3.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. На рис. 1.24.3 изображен вектор импульса тела и его составляющие и Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время , приближенно равна площади треугольника с основанием и высотой :

Здесь – угловая скорость (см. §1.6).

Момент импульса по абсолютной величине равен произведению модулей векторов и

так как

Из этих отношений следует:

Поэтому, если по второму закону Кеплера то и момент импульса при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии и афелии направлены перпендикулярно радиус-векторам и из закона сохранения момента импульса следует:

Третий закон Кеплера (1619 г.):

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

или

Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше .

На рис. 1.24.4 изображены две орбиты, одна из которых – круговая с радиусом , а другая – эллиптическая с большой . Третий закон утверждает, что если , то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Рисунок 1.24.4.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений. Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения :

где и – массы Солнца и планеты, – расстояние между ними, – гравитационная постоянная. Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что , где – период обращения, – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

Если , то

Свойство консервативности гравитационных сил (см. §1.10) позволяет ввести понятие потенциальной энергии . Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Потенциальная энергия тела массы , находящегося на расстоянии от неподвижного тела массы , равна работе гравитационных сил при перемещении массы из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис. 1.24.5).

Рисунок 1.24.5.

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам . Работа гравитационной силы на малом перемещении есть:

Полная работа при перемещении тела массой из начального положения в бесконечность находится суммированием работ на малых перемещениях:

В пределе при эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии от центра тяготения и имеет некоторую скорость , его полная механическая энергия равна

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6).

При тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Рисунок 1.24.6.

При тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории .

При движение происходит по гиперболической траектории . Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

отсюда

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

отсюда

Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих , но меньших , орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Источник

Вопрос 5. Каким образом закон сохранения момента импульса отражается на движении планет Солнечной системы?

Ответ. Момент импульса – это мера механического движения тела или системы тел относительно какой либо точки (центра) или оси. Для замкнутой системы тел момент импульса остаётся постоянным. Закон сохранения момента импульса гласит: если к телу или к системе тел не приложено внешних сил, то момент импульса остаётся постоянным. Закон сохранения момента импульса определяет динамику галактик, планет и элементарных частиц. Момент импульса тела равен произведению импульса тела на расстояние до оси вращения.

Земля вращается вокруг Солнца по эллипсу, поэтому расстояние от неё до Солнца меняется. Момент её импульса сохраняется при движении вокруг центрального тела. То же касается всех других планет Солнечной системы.

Момент импульса при вращении завит не только от массы и скорости тела, но и от положения точки, в которой находится масса тела. Перераспределение массы при вращении изолированной системы в силу закона сохранения момента импульса меняет (уменьшает или увеличивает) угловую скорость вращения. Уменьшение расстояния приводит к увеличению угловой скорости, увеличение расстояния увеличивает угловую скорость. Поэтому скорость Земли или любой другой планеты Солнечной системы в перигелии (ближайшей к Солнцу точки орбиты планеты) будет максимальной, а в афелии

( наиболее отдалённой от солнца точки орбиты) она будет минимальной. Земля находится в перигелии 3 января, в афелии — 3 июля, поэтому зимняя скорость обращения Земли превышает летнюю. Таким же образом закон сохранения момента импульса сказывается на движении других планет Солнечной системы по их орбитам.

Момент импульса является векторной величиной, поэтому в изолированной системе сохраняется не только его значение, но и направление. Это приводит к возникновению отклонений (прецессий) оси вращения Земли с периодом примерно 26 тысяч лет.

Вопрос 6. Почему нарезное оружие стреляет на большее расстояние и с большей точностью по сравнению с гладкоствольным?

Ответ. Нарезное оружие (винтовки, пистолеты, автоматы и др.) в канале ствола имеет нарезы (винтовые канавки), которые предают пуле вращательные движения. Эти вращательные движения обеспечивают пуле устойчивость в воздухе, а также повышают дальность и кучность стрельбы.

Пуля, выпущенная из нарезного оружия, совершает как поступательное (под действием пороховых газов), так и вращательное (под действием нарезанных в стволе канавок) движение. Перемещаясь в пространстве с огромной скоростью, пуля испытывает значительное сопротивление среды (воздуха). Совершая поступательное движение, пуля одновременно вращается вокруг своей продольной оси, как бы ввинчиваясь в воздух, что значительно уменьшает сопротивление воздуха при движении пули, тем самым увеличивает дальность полёта и повышает кучность стрельбы.

Что воздух мешает свободному полёту пули, знают все, но лишь немногие представляют себе, насколько велико тормозящее действие воздуха. Большинство людей склонно думать, что такая незначительная по плотности среда, как воздух, не может сколько – нибудь заметно мешать стремительному полёту ружейной пули. Однако, покидая ствол с огромной скоростью (около 630 метров в секунду) пуля на своём пути испытывает огромное тормозящее сопротивление воздуха. Противодействие воздуха столь велико, что его присутствие уменьшает дальность полёта пули на поверхности Земли как минимум в десять раз. В случае отсутствия воздуха на Земле (атмосферы) из винтовки можно было бы обстреливать неприятеля на расстоянии до сорока км, а посылать пулю вверх на высоту до десяти км.

Гладкоствольное оружие, которое не имеет нарезов внутри ствола, не в состоянии придать пуле устойчивого вращательного движения. Поэтому пуля, выпущенная из такого оружия, не ввинчивается в воздух, а хаотично в нём кувыркается, испытывая огромное сопротивление воздуха. Тормозящее действие воздуха уменьшает дальность полёта и точность стрельбы.

Источник

➤