Пекин высота полуденного солнца

В этом учебном году (2017-2018) в школьную программу начали возвращать курс астрономии, на «ответах» стали появляться задачи, буду сюда скидывать некоторые из решённых задач. Если заметите неточности, сообщайте.

В решениях практикуется компьютерный способ экспоненциальной записи чисел, удобный как для восприятия, так и возможностью непосредственного подставления в калькулятор Windows. Например, гравитационная постоянная G в таком виде записывается как 6.6743e-11

Цитата:
Определите сумму масс двойной звезды Капеллы, если большая полуось ее орбиты равна 0,85 а. е., а период обращения составляет 0,285 года

Цитата:
На каких географических широтах звезда Капелла (d = +45°58′) находится на наибольшей высоте над горизонтом 38°25′

Высота над горизонтом 38°25′ соответствует зенитному расстоянию z= 90°-38°25′ = 51°35′. Таким, по условию, должно быть наименьшее значение зенитного расстояния.

Видно, что уходя на север от широты 45°58′, наименьшее суточное зенитное расстояние (с Северного полюса) получится лишь 90°-45°58′ = 44°02′, что нам не подходит.

Поэтому остаётся уходить на юг на 51°35′, итого получим 45°58′-51°35′ = -5°37′

Это из географии, но тоже относится к астрономии:

Цитата:
Определите высоту полуденного солнца в дни равноденствия и солнцестояния в следующих городах: Москве, Мадриде, Осло, Париже, Дели, Пекине.

Рассчитаем для примера случай с Дели. Находим широту Дели: +28.6°

В дни равноденствия высота полуденного солнца = 90°-28.6° = 61.4°
В дни зимнего равноденствия 61.4° — 23.4° = 38.0° над горизонтом
В дни летнего равноденствия 61.4° + 23.4° = 84.8°

Цитата:
Определите ускорение свободного падения на поверхности планеты, если её масса M = 3.4*10^23 кг, радиус планеты R = 3400 км.

g = GM/R^2 = 6.67e-11 * 3.4e23 / (3400000*3400000) = 1.96 м/с2

Цитата:
Каков угловой диаметр спутника Юпитера Ио при наблюдении его с космического корабля, находящегося от спутника на расстоянии 576000 км, если известно, что линейные размеры Ио и Луны почти одинаковы.

Если знаем угловой диаметр Луны (32′) и расстояние до неё 384000 км, то
32′ / (576000/384000) = 21′

Если знаем линейный диаметр Луны 3474 км, то 3474/576000 = 0.0060313 рад = 0.3456° = 20.7′

Цитата:
Какая из звезд расположена ближе: расположенная на расстоянии 25 пк или 60 св. лет?

1 парсек = (150 000 000)/(3.1416/180/3600) = 3.094e13 км
1 св год = 300000*86400*365.25 = 9.467e12 км

25 парсек = 3.094e13 * 25 = 7.735e14 км = 82 св года

значит 60 св лет ближе.

Цитата:
Может ли для широты 60° двадцатого сентября Андромеда находиться в зените? Во сколько?

созвездие Андромеда
Прямое восхождение от 22h 52m до 2h 31m
Склонение от 21 до 52.5°

Нет, не может, поскольку в зените она может быть только для широт до 52.5. Однако можно условно назвать зенитом кульминацию некоторой средней точки созвездия. 20 сентября — это примерно через полгода после весеннего равноденствия. В весеннее равноденствие восход примерно в 0:40 (местного времени), значит 20 сентября примерно в 12:40, и значит кульминация в 18:40

Цитата:
Каков радиус круглого астероида, с которого человек может развить вторую космическую скорость, то есть прыгнуть в космос и улететь? Считаем, что человек на Земле прыгает на высоту h=1 м, плотность астероида ρ=2 г/см3

Нифиговенький человек. Это же не просто ногами запрыгнуть на 1 метр, это надо свой центр тяжести поднять на 1 метр, то есть запрыгнуть на метровый стол с прямыми ногами, ну или обычным образом запрыгнуть с места на высоту примерно 160 см. Впрочем, ладно, такое возможно, судя по новостям о рекордах.

Ок, у нас есть чел, который может в прыжок вложить энергию mgh = mV^2/2, то есть развить скорость V = sqrt(2gh) = sqrt(2*10*1) = 4.5 м/с. Это должно равняться второй космической скорости для нашего астероида.

Вторая космическая = sqrt(2*GM/R), где масса астероида M = 4/3*pi*R^3*ρ, приравниваем
2*GM/R = 20
2*G*4/3*pi*R^2*ρ = 20
R^2 = 10*3/(4*3.14*ρ*G)
R = sqrt[10*3/(4*3.14*2000*6.7*10^-11)] = 10^5*sqrt[3/(4*3.14*20*6.7)] = 4200 метров

Цитата:
В каких точках своих орбит расположены Земля и Луна в момент кольцеобразного солнечного затмения?

если посчитать взаимные расстояния и диаметры луны и солнца, то видно (расчёт опущен), что когда Земля в перигелии (147.098 млн км), 3 января, тогда Луна должна быть ближе, чем 367 тыс км, то есть практически вблизи своего перигея, чтобы закрыть Солнце полностью, а значит кольцеобразное затмение будет при любом расстоянии больше 367 тыс км. Когда Земля в афелии (152.098 млн км), 4 июля, вместо 367 мы получаем 380 тыс км, то есть луна должна быть дальше этого расстояния.

Цитата:
С какого расстояния космонавт увидит Землю такого же углового размера, как Луну с Земли? Радиус Луны 1738 км, а расстояние от Земли до Луны 384400 км.

Радиус Луны в 6371/1738 = 3.666 раза меньше, чем радиус Земли, а значит надо отлететь от Земли на расстояние 384400*3.666 = 1.41 млн км.

Цитата:
Астероид Фортуна сближается с Землей до расстояния в 1.056 а. е. Его среднее гелиоцентрическое расстояние равно 2.442 а. е. Найти эксцентриситет орбиты астероида, его перигельное и афелийное расстояния. Орбиту Земли считать окружностью, а наклонением орбиты астероида пренебречь.

Фортуна
перигелий rp = 1.056+1.0 = 2.056 а. е.
большая полуось а = 2.442 а. е.
афелий ra = 2a-rp = 2*2.442-2.056 = 2.828 а. е.
эксцентриситет e = (a-rp)/a = (2.442-2.056)/2.442 = 0.158

Цитата:
Определите среднюю плотность Солнца, если период обращения Земли вокруг Солнца принять равным 365 сут. При расчётах принять радиус земной орбиты равным 150 млн км, а радиус Солнца — 700 тыс. км.

скорость земли V = 2*pi*R/T = 30 км/сек
центростремительное ускорение a = V^2/R = 0.006 м/с2
a = GM/R^2
масса солнца M = a*R^2/G = 2*10^30 кг
плотность солнца = M/объем = (2*10^30 кг) /(4/3 *pi*r^3) = 1400 кг/м3

Цитата:
Во сколько раз солнце больше луны если их угловые диаметры одинаковы а горизонтальные параллаксы соответственно 8,8» и 57′?

нужно отнести 57*60 к 8.8, то есть в 57*60/8.8 = 389 раз

Цитата:
За 1,52 земных лет Марс делает один оборот вокруг Солнца, во сколько раз Марс дальше Земли?

третий закон кеплера
(T1/T2)^2 = (a1/a2)^3
(1/1.52)^2 = (1/a2)^3
откуда а2 = 1.32.
Марс в 1.32 раза дальше от Солнца, чем Земля.

Цитата:
Деймос, один из спутников Марса, отстоит от планеты на расстоянии 23500 км и совершает 1 оборот вокруг Марса за 30 часов 18 мин. Зная среднее расстояние Земли от Солнца и сидерический период Земли, вычислите отношение масс Марса и Солнца.

период обращения по эллиптической орбите
T = 2*pi*sqrt( a^3/(GM) )
где а — большая полуось, М — масса центрального тела

Значит если мы возьмём два периода (обращения Земли Т1 и обращения Деймоса Т2), то можно составить отношение:
T1/T2 = sqrt( (a1/a2)^3/(M1/M2) )
где M1 — масса Солнца, М2 — масса Марса. Значит
M1/M2 = (a1/a2)^3 / (T1/T2)^2 = (150000000/23500)^3 / (8766/30.3)^2 =
= 260058000000/83700 = 3.11 млн

Две похожие задачи:

Цитата:
1. Через какой промежуток времени встречаются на циферблате часов минутная и часовая стрелки?
2. Звёздный период обращения Юпитера равен 12 годам. Через какой промежуток времени повторяются его противостояния?

2. Точно такая же задача, только вместо 1 часа здесь 1 год.
Итого 12/11 года = 1 год 33 дня

Цитата:
При исследовании центра Галактики была получена карта центральной области размером 30×30 пк. Известно, что расстояние до центра Галактики равно 8.3 кпк. Какие угловые размеры (в угловых минутах) имеет данная область?

30/8300 = 0.003614 радиан = 0.207 градуса = 12.4 угл мин
Значит область размером 12.4′ * 12.4′

Цитата:
У какой из двух планет — Марса или Нептуна — больше будет отличаться минимально возможная и максимально возможная яркость при наблюдении с Земли? Почему?

У Марса. Поскольку разброс расстояний от Земли до Марса гораздо больше, чем до Нептуна.
До Марса от 0.4 до 2.6 а. е., то есть в 6.5 раз.
До Нептуна от Земли от 29 до 31 а. е., что различается лишь в 1.07 раза.

Цитата:
С борта космического корабля который находится на расстоянии 120 км от поверхности Луны, космонавт наблюдает объект, имеющий протяженность 60 м. Каков угловой радиус объекта?

60/120000 = 0.0005 радиан = 0.02865 градуса = 1′ 43»

Цитата:
1.Если завтра ожидается лунное затмение, будет ли сегодня лунная ночь и почему?
2. Солнечное затмение произошло в сентябре. Возможно ли будет наблюдение солнечного затмения в этом году (до января) и почему?

1) если не будет пасмурно, то да, ночь будет лунная, поскольку за один день фаза луны сильно не меняется, а значит близка к полнолунию, а значит луна яркая и кульминирует (максимально высоко в небе) в районе полуночи

2) поскольку в сентябре узлы Луны были сориентированы так, что «смотрели» на солнце, то в следующий раз подобная ориентация случится лишь примерно через полгода. Значит в ближайшие три-четыре месяца солнечных затмений не будет. Хотя иногда случается солнечное затмение два месяца подряд, но упростим себе жизнь — будем считать это исключением из правила.

Цитата:
большая полуось спутника луны 7000 км. чему равен средний период обращения спутника вокруг луны

G*Mлуны = 4.9039E+12
GM/R = V^2
Скорость V = sqrt(GM/R) = 837 м/с
Период = 2*pi*R/V = 14 часов 36 мин

Цитата:
Абсолютная звездная величина Солнца +4,84m. На каком расстоянии Солнце будет видно как звезда 14,84m?

d0 — 10 парсек
М — абсолютная звездн величина
m — видимая звездн величина
d = d0 * 10^((m-M)/5) = 10 * 10^(10/5) = 1000 парсек = 3262 световых года

Цитата:
Период обращения вокруг Солнца одного из крупнейших тел главного пояса астероидов — Весты
— составляет 3,6 года. Во сколько раз среднее расстояние от Весты до Солнца больше, чем среднее расстояние от Солнца до Земли?

Третий закон Кеплера
(T1/T2)^2 = (a1/a2)^3
Подставляем T1 = 1 год и a1 = 1 астрономическая единица:
(1/3.6)^2 = (1/a2)^3
a2 = 3.6^(2/3) = 2.35 а.е.
Ответ: в 2.35 раза

Цитата:
В спектре галактики линия водорода λ = 656,3 нм смещена к красному концу спектра на величину Δλ = 21,9 нм. Определите скорость удаления галактики и расстояние до нее

z = Δλ / λ = 21.9/656.3 = 0.033369
v = c*z = H*r, где постоянная Хаббла H = 73 км/(с*МПк)
v = 300000*0.033369 = 10011 км/с
r = v/H = 10011/73 = 137 мегапарсек

Цитата:
На какое минимальное расстояние звезда 61 Лебедя приблизится к нам, если параллакс этой звезды равен 0,3″ и собственное движение 5,2″. Звезда движется к нам с лучевой скоростью 64 км/с

Мы находимся в точке А. Звезда, за которой мы наблюдаем, находится в точке В и движется относительно нас со скоростью V (синий вектор). Раскладываем вектор скорости V на две перпендикулярные проекции (зелёные вектора) — лучевую скорость Vл (направленную строго на нас) и скорость «собственного» движения Vc. Лучевая скорость задана в явном виде, а Vc нужно найти. Из определения параллакса следует, что 0.3» собственного движения — это 1 астрономическая единица (то есть 150 миллионов км), а значит за год она пролетает в поперечном направлении 5.2/0.3 = 17.3 а. е. = 2 600 000 000 км, делим на количество секунд в году и получаем
Vc = 2 600 000 000/(3600*24*365.25) = 82.4 км/с

Можем из теоремы Пифагора посчитать и полную скорость (104 км/с), но нам это не особенно нужно, а нужен нам угол АВС, который равен arctan(Vc/Vл) = arctan(82.4/64) = 52.2°

Из параллакса сторона AB = s = 1/0.3 = 3.33 парсек (в километры не переводим, нет смысла). Из угла АВС и стороны АВ находим минимальное расстояние АС = АВ*sin(52.2°) = 2.63 парсек.

Цитата:
Каков был бы синодический период обращения Луны, если бы её движение вокруг Земли происходило бы с той же скоростью, но в противоположную сторону?

Сидерический период (относительно удалённых звёзд) остался бы тем же T1 = 27.32166 дня

Синодический период (относительно Солнца) сейчас T2 = 29.5306 дня. Попробуем его вывести. Для этого обозначим угловую скорость обращения Земли вокруг Солнца = w1 = 2pi/365.25 (в радианах за сутки), а угловую скорость Луны вокруг Земли = w2 = 2pi/27.32166. Тогда
w1*T2 + 2pi = w2*T2 (обгоняет на 2 пи за Т2)
T2 = 2pi/(w2-w1) = 1/(1/27.32166 — 1/365.25) = 29.5306 суток, то есть совпало с вышеуказанным значением. Значит остаётся закрутить в другую сторону, поменяв знак:
1/(1/27.32166 + 1/365.25) = 25.4202 дня

Цитата:
Определите плотность белого карлика Сириуса В, если известно, что его радиус в 3 раза больше радиуса Земли, а масса почти равна массе Солнца.

Радиус R = (6.37*10^6 м)*3 = 1.911*10^7 м
Масса M = 2*10^30
Плотность = M/(4/3*pi*R^3) = 2*10^30/(4/3*pi*(1.911*10^7)^3) = 68.4 млн кг/м3

Цитата:
В каком месте Земли звёзды и Солнце восходят и заходят перпендикулярно горизонту? Где в этом месте будет находиться полярная звезда?

На Экваторе. Полярная звезда будет на Севере вблизи горизонта.

Цитата:
Предположим, что сегодня высота Солнца в полдень в Кейптауне (33.9° ю. ш.) наибольшая из возможных в течение года. В каком из перечисленных пунктов Солнце сегодня не восходит?
Анадырь (64.73° с. ш.), Мирный (66.55° ю. ш), Мурманск (68.97° с. ш), Рейкьявик (64.13° с. ш.), Стокгольм (59.32° с. ш), Тикси (71.63° с. ш)

Если на широте 33.9 ю.ш. высота солнца максимальная за год, то это день солнцестояния (зимнего — для северного полушария), примерно 22 декабря. Значит, склонение солнца = -23.4. Значит солнце не восходит севернее северного полярного круга (66.5 с.ш.), а значит подходят Мурманск, Тикси.

Цитата:
В центре галактики находится массивная черная дыра радиусом около 10 млн километров. Можно ли изучить структуру ее окрестностей с помощью радиоинтерферометра с космическим телескопом «Радиоастрон»? С помощью одного оптического телескопа диаметром объектива 1 м?

Гуглим про «Радиоастрон». Пишут что проект позволил получить разрешение 7 микросекунд дуги = 0.000007″.

Теперь по эмпирическому критерию разрешения Рэлея (см тут) определим разрешение оптического телескопа
θ = 1.22*λ/D = 1.22*0.5мкм/10^6мкм = 0.00000061 рад = 0.13″

Интересующее нас разрешение равно угловому размеру чёрной дыры:
10 млн км / (25 тысяч световых лет) = 10^7км/(25000км*300000*86400*365) = 4.2*10^-11 = 0.000009″

Как видно, «Радиоастрон» вполне позволяет исследовать окрестности указанной чёрной дыры с разрешением порядка её размера, а оптический телескоп с метровым объективом не дотягивает по разрешению в 0.13/0.000009 = 14 тысяч раз.

Цитата:
Разрешение человеческого глаза в ночное время составляет 2′. Каким оно будет при использовании телескопа с диаметром объектива 8 см и увеличении 200 крат?

Самое простое действие — 2 угл минуты (120″) делим на 200, получаем 0.6″

Теперь сравним с критерием Рэлея (из предыдущей задачи)
θ = 1.22*λ/D = 1.22*0.5мкм/(80000мкм) = 0.0000076 рад = 1.6″

Поскольку это больше, чем 0.6″, то ответом будет дифракционное ограничение Рэлея: 1.6″

Цитата:
Определите период обращения искусственного спутника Земли, если наивысшая точка его орбиты над поверхностью Земли 36000 км, а наинизшая — 300 км. Землю считать шаром радиусом 6370 км.

считаем апогей и перигей
6370+36000 = 42370 км
6370+300 = 6670 км
большая полуось = (42370+6670)/2 = 24520 км

период обращения будет равен периоду для круговой орбиты радиусом 24520 км

G*M*m/R^2 = m*v^2/R
G*M/R = v^2
v = sqrt(GM/R) = sqrt(GM/R0^2 * R0^2/R) = sqrt(g * R0^2/R)
T = 2*pi*R/v = 2*pi/sqrt(g * R0^2/R^3) = 2*3.14/sqrt(9.81*6371000^2/24520000^3) = 38200 сек = 10 часов 37 мин

Источник