Когда пересекаются параллельные прямые?
От кого только не услышишь, что параллельные прямые якобы могут пересекаться в геометрии Лобачевского! Часто этим грешат, например, журналисты. Политики и политологи тоже иногда повторяют эту чушь. К сожалению, бывает, что к ним присоединяются даже учёные (правда, не математики).
Из одной научно-популярной книжки по химии:
А однажды про пересечение параллельных прямых в геометрии Римана я услышал в лекции известного российско-американского учёного астрофизика, что совсем уж не простительно.
К сожалению, и на Яндекс Дзене есть безграмотные статьи, в которых утверждается, что параллельные прямые могут пересекаться в неевклидовой геометрии.
Развеем это заблуждение.
Кто учился в школе, тот изучал евклидову геометрию и хорошо должен знать, что параллельными прямыми называются такие прямые, лежащие в одной плоскости, которые не пересекаются .
Всё. Точка. Параллельные прямые в евклидовой геометрии не могут пересекаться, иначе их нельзя будет назвать параллельными!
Кроме изучаемой в средней школе евклидовой геометрии — геометрии неискривлённого пространства (с нулевой кривизной или «плоского»), есть неевклидовы геометрии — искривлённого пространства: геометрия Лобачевского — пространства с отрицательной кривизной и геометрия Римана — пространства с положительной кривизной.
В этих геометриях параллельные прямые — это те же самые параллельные прямые, что и в геометрии Евклида, то есть не пересекаются по определению . Запомните это раз и навсегда!
Откуда же тогда пошло заблуждение, что в неевклидовых геометриях параллельные прямые пересекаются? Причину можно выразить словами: Слышал звон, да не знаю, где он.
Да. В геометрии Лобачевского и геометрии Римана «не всё в порядке» с параллельностью прямых, но отличие от геометрии Евклида состоит вовсе не в том, что параллельные прямые вдруг сошли с ума и стали пересекаться. Нет! Они как не пересекались, так и не пересекаются.
Дело в другом. Потерпите ещё немного, и я всё расскажу. А если дойдёте до конца, то узнаете ответ на вопрос, поставленный в заголовке: Где на самом деле параллельные прямые пересекаются?
В евклидовой геометрии есть аксиома параллельных (5-й постулат Евклида): Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
В геометрии Лобачевского (её ещё называют гиперболической) вместо этого постулата другой: Через точку, не лежащую на прямой, можно провести по крайней мере две прямые, параллельные данной.
Но и тут параллельные прямые как не пересекались, так и не пересекаются.
В евклидовой геометрии, если две прямые параллельны третьей, то между собой они тоже параллельны. В геометрии Лобачевского это свойство не выполняется. На рисунке две прямые пересекаются в точке М, но они и не называются поэтому параллельными друг другу .
В геометрии Римана (её ещё называют сферической) вообще все прямые пересекаются, там нет параллельных прямых.
Например, в евклидовой геометрии два перпендикуляра к одной прямой между собой параллельны, а в римановой они обязательно пересекутся. Так, два меридиана на глобусе перпендикулярны экватору, но пересекаются на полюсах. Но это означает, повторяю, что в римановой геометрии просто нет параллельных прямых (а раз их нет, то и пересекаться они не могут :)).
Теперь переходим к ответу на поставленный вопрос.
Существует ещё один раздел геометрии, называемый проективной геометрией. В основу её положен метод центральной проекции.
ABCD — фигура («оригинал»), S- центр проекции, ω’- плоскость проекции, A’B’C’D’ — центральная проекция («изображение»).
Похоже на то, как на холсте рисуется картина.
В евклидовом пространстве центральное проектирование имеет трудность, заключающуюся в том, что бывают случаи, когда не каждой точке «оригинала» соответствует точка «изображения» и, обратно, не каждой точке изображения соответствует точка оригинала. Центр проекции S выбирается произвольно, и возможна, например, ситуация, когда луч проекции идёт параллельно плоскости проекции, поэтому не пересекает её и не создаёт соответствующее «изображение» точки.
Чтобы восстановить взаимно однозначное соответствие точек оригинала и образа, полагают, что у каждой прямой, кроме «собственных» или «обыкновенных» её точек (точек, из которых она состоит, и между которыми, как бы далеко друг от друга они ни отстояли, всегда конечное расстояние) есть одна несобственная точка — бесконечно удалённая. У всех параллельных прямых одна на всех общая несобственная точка, то есть можно сказать, что они пересекаются в несобственной, бесконечно удалённой точке .
Тем не менее это пересечение прямых совсем не похоже на обычное пересечение прямых, потому что ни в одной собственной точке параллельные прямые не пересекаются никогда. Их общая точка расположена в бесконечности и она несобственная. Если до обыкновенной точки пересечения не параллельных прямых можно дойти, двигаясь по прямой (для обычного пересечения прямых расстояние от любой точки прямой до точки пересечения конечно), то до несобственной точки пересечения параллельных прямых дойти нельзя (даже двигаясь со скоростью света миллиард миллиардов лет), потому что расстояние до неё от любой точки прямой равно бесконечности. Эта точка, если так можно сказать, выдумана — ради формального удобства, придания определённой симметрии, законченности и красоты теории проективных преобразований.
Понятно, что не математику трудно представить несобственные точки (а также несобственную прямую, расширенную плоскость, несобственную прямую и расширенное (проективное) пространство). Главное, что теперь, если в разговоре с вами кто-то скажет, что параллельные прямые пересекаются в геометрии Лобачевского, вы можете с видом знатока его поправить, сказав, что параллельные прямые пересекаются только в проективной геометрии, причём в несобственной точке .
Источник
Школьные мифы. «В геометрии Лобачевского параллельные линии пересекаются»
Привет, любители математики!
Не забывайте ставить лайки и подписываться, если этого еще не сделали!
Насколько мне известно, геометрию Лобачевского не сильно жалуют, особенно в школьном курсе. Оно и не удивительно, если попытаться немножечко в нее погрузиться, можно вывернуть свои мозги наизнанку и они при этом так и не пересекутся с пониманием того, как там все устроено.
Если говорить о себе, то я прекрасно помню, как нам учитель математики рассказывала о параллельных прямых. Не то чтобы дословно и ясно, но хорошо запомнилось, что в конце урока, она добавила:
В школьном курсе, мы с Вами будем изучать только геометрию Евклида, но есть и другая геометрия, геометрия Лобачевского, и там, параллельным прямые пересекаются.
Как-то так это звучало, конечно, для юных умов — это непостижимо! Как так! Если прямые параллельны, то они параллельны. Но учитель парировала, что вроде как Вселенная огромна и представляет собой типа сферу, и некогда параллельные прямые, сделав полный оборот вокруг Вселенной, пересекутся. Это — вроде как и не проверишь, и не опровергнешь.
Оно было здорово и интересно, но не из геометрии Лобачевского . как оказалось лет 15 спустя. Лично для меня естественно. Если точнее, то ее просто не правильно интерпретировали.
Вообще, если говорить о истории, то математикам не давал покоя именно пятый постулат Евклидовой геометрии. В упрощенном варианте, который нам преподают, он гласит следующее:
Через одну и ту же точку нельзя провести двух параллельных прямых, параллельных данной
Источник
30 фактов, которые вы наверняка не знали
1. Параллельные линии в космосе пересекаются.
2. Фэн-шуй изначально — искусство украшения могил.
3. При чихании все функции организма останавливаются, даже.. сердце.
4. Утиное кваканье не дает эха.
5. Самое большее количество отжиманий за раз — 46001
6. Змея может спать в течение 3 лет
7. Длина волос на голове, отращиваемых в среднем человеком в течение жизни – 725 километров.
8. Золото — это настолько редкий металл, что за один час в мире находят больше железа, чем за всю историю нашли золота.
9. Сердце белого кита размером с Фольцваген Жук.
10. 100 000 000 половых актов происходит ежедневно во всем мире. Из них только 910 000 заканчиваются оплодотворением.
11.Лизтомания — потребность слушать музыку все время.
12. Изифалофобия — боязнь эрекции.
13. Один миллиард секунд — это примерно 37 лет.
14. Язык хамелеона вдвое длиннее его тела
15. Майкла Джордана на втором курсе колледжа не взяли в баскетбольную команду из-за маленького роста.
16. В Кении расходы на взятки составляют одну треть домашнего бюджета.
17. Бегун способен со старта опередить гоночную машину в первые 10 метров.
18. Прыщи можно вывести смесью из размолотых таблеток любого антибиотика, аспирина и супрастина (по одной), с добавлением капли воды.
19. Колибри — единственная птица, которая может летать задом наперед.
20. Гигантские ящерицы Комодо нападают даже на оленя и кабана.
21. Каждого четвертого американца показывали по телевизору.
22. Половина мужчин не моют руки после посещения туалета.
23. Если желтую канарейку кормить красным перцем, цвет ее перьев станет ярко-оранжевым.
24. Для точного поддержания баланса и аэродинамических свойств орел, при выпадении пера из одного крыла теряет такое же перо из другого крыла.
25. В 18 в. солдаты, воевавшие против армий Фридриха, принесли тараканов в Москву и в Петербург. До этого тараканов не было.
26. Чтобы расколоть орех, достаточно положить его в горячую воду на 48 часов.
27. Между плитами пирамиды Хеопса невозможно просунуть лезвие.
28. В Финляндии существует чемпионат по перетаскиванию жен. Победитель получает кол-во пива, эквивалентное весу супруги.
29. Орлы спариваются в полете.
30. Водители убивают больше оленей, чем охотники.
Источник