Определить массу земли по движению ее спутника луны

§ 58. Определение масс небесных тел

Закон всемирного тяготения Ньютона позволяет измерить одну из важнейших физических характеристик небесного тела — его массу.

Массу небесного тела можно определить: а) из измерений силы тяжести на поверхности данного тела (гравиметрический способ); б) по третьему (уточненному) закону Кеплера; в) из анализа наблюдаемых возмущений, производимых небесным. телом в движениях других небесных тел.

Первый способ применим пока только к Земле и заключается в следующем.

На основании закона тяготения ускорение силы тяжести на поверхности Земли

где т — масса Земли, a R — ее радиус. Отсюда масса Земли

Ускорение силы тяжести g (точнее, ускорение составляющей силы тяжести, обусловленной только силой притяжения), так же как и радиус Земли R , определяется из непосредственных измерений на поверхности Земли (см. § 46 и 62). Постоянная тяготения f достаточно точно определена из опытов Кэвендиша и Йолли, хорошо известных в физике.

С принятыми в настоящее время значениями величин g , R и f по формуле (2.25) получается масса Земли

Зная массу Земли и ее объем, легко найти среднюю плотность Земли. Она равна 5,52 г/см 3

Третий, уточненный закон Кеплера позволяет определить соотношение между массой Солнца и массой планеты, если у последней имеется хотя бы один спутник и известны его расстояние от планеты и период обращения вокруг нее.

Действительно, движение спутника вокруг планеты подчиняется тем же законам, что и движение планеты вокруг Солнца и, следовательно, уравнение (2.24) может быть записано в этом случае так:

где — М, т и m_c — массы Солнца, планеты и ее спутника, Т и t_c — периоды обращений планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты, a и а_с — расстояния планеты от Солнца и спутника от планеты соответственно.

Разделив числитель и знаменатель левой части дроби этого уравнения па т и решив его относительно масс, получим

Отношение для всех планет очень велико; отношение же наоборот, мало (кроме Земли и ее спутника Луны) и им можно пренебречь. Тогда в уравнении (2.26) останется только одно неизвестное отношение , которое легко из него определяется. Например, для Юпитера определенное таким способом обратное отношение равно 1 : 1050.

Так как масса Луны, единственного спутника Земли, сравнительно с земной массой достаточно большая, то отношением в уравнении (2.26) пренебрегать нельзя. Поэтому для сравнения массы Солнца с массой Земли необходимо предварительно определить массу Луны. Точное определение массы Луны является довольно трудной задачей, и решается она путем анализа тех возмущений в движении Земли, которые вызываются Луной.

Под влиянием лунного притяжения Земля должна описывать в течение месяца эллипс вокруг общего центра масс системы Земля — Луна.

По точным определениям видимых положений Солнца в его долготе были обнаружены изменения с месячным периодом, называемые “лунным неравенством”. Наличие “лунного неравенства” в видимом движении Солнца указывает на то, что центр Земли действительно описывает небольшой эллипс в течение месяца вокруг общего центра масс “Земля — Луна”, расположенного внутри Земли, на расстоянии 4650 км от центра Земли. Это позволило определить отношение массы Луны к массе Земли, которое оказалось равным . Положение центра масс системы “Земля — Луна” было найдено также из наблюдений малой планеты Эрос в 1930—1931 гг. Эти наблюдения дали для отношения масс Луны и Земли величину . Наконец, по возмущениям в движениях искусственных спутников Земли отношение масс Луны и Земли получилось равным . Последнее значение наиболее точное, и в 1964 г. Международный астрономический союз принял его как окончательное в числе других астрономических постоянных. Это значение подтверждено в 1966 г. вычислением массы Луны по параметрам обращения ее искусственных спутников.

С известным отношением масс Луны и Земли из уравнения (2.26) получается, что масса Солнца M _¤ в 333 000 раз больше массы Земли, т.е.

Зная массу Солнца и отношение этой массы к массе любой другой планеты, имеющей спутника, легко определить массу этой планеты.

Массы планет, не имеющих спутников (Меркурий, Венера, Плутон), определяются из анализа тех возмущений, которые они производят в движении других планет или комет. Так, например, массы Венеры и Меркурия определены по, тем возмущениям, которые они вызывают в движении Земли, Марса, некоторых малых планет (астероидов) и кометы Энке — Баклунда, а также по возмущениям, производимым ими друг на друга.

Источник

§9.4. Определение масс небесных тел

Масса — одна из важнейших характеристик небесных тел. Но как можно определить массу небесного тела? Ньютон доказал, что более точная формула третьего закона Кеплера такова:

где М₁ и М₂ — массы каких-либо небесных тел, а m₁, и m₂ — соответственно массы их спутников. В частности, планеты являются спутниками Солнца. Мы видим, что уточненная формула этого закона отличается от приближенной наличием множителя, содержащего массы Если под М₁ = М₂ = М понимать массу Солнца, а под m₁ и m₂ — массы двух разных планет, то отношение

будет мало отличаться от единицы, так как m₁ и m₂ очень малы по сравнению с массой Солнца. При этом точная формула не будет заметно отличаться от приближенной.

Уточненный третий закон Кеплера позволяет определить массы планет, имеющих спутников, и массу Солнца. Чтобы определить массу Солнца, перепишем формулу этого закона в следующем виде, сравнивая движение Луны вокруг Земли с движением Земли вокруг Солнца:

где T_з и а_з — период обращения Земли (год) и большая полуось ее орбиты, Т_л и а_л — период обращения Луны вокруг Земли и большая полуось ее орбиты, M_с — масса Солнца, M_з — масса Земли, m_л — масса Луны. Масса Земли ничтожна сравнительно с массой Солнца, а масса Луны мала (1:81) сравнительно с массой Земли. Поэтому вторые слагаемые в суммах можно отбросить, не делая большой ошибки. Решив уравнение относительно M_с/M_з имеем:

Эта формула позволяет определить массу Солнца, выраженную в массах Земли. Она составляет около 333 000 масс Земли.

Для сравнения масс Земли и другой планеты, например Юпитера, надо в исходной формуле индекс 1 отнести к движению Луны вокруг Земли массой М₁ а 2 — к движению любого спутника вокруг Юпитера массой М₂.

Массы планет, не имеющих спутников, определяют по тем возмущениям, которые они своим притяжением производят в движении соседних с ними планет или в движении комет и астероидов.

Определите массу Юпитера сравнением системы Юпитера со спутником с системой Земля — Луна, если первый спутник Юпитера отстоит от него на 422 000 км и имеет период обращения 1,77 сут. Данные для Луны должны быть вам известны.
Вычислите, на каком расстоянии от Земли на линии Земля — Луна находятся те точки, в которых притяжения Землей и Луной одинаковы, зная, что расстояние между Луной и Землей равно 60 радиусам Земли, а массы Земли и Луны относятся как 81 : 1.

Источник

ИНФОФИЗ — мой мир.

Весь мир в твоих руках — все будет так, как ты захочешь

Как сказал.

Человек, который никогда не ошибался, никогда не пробовал сделать что-нибудь новое.

Альберт Эйнштейн

Вопросы к экзамену

Для всех групп технического профиля

Список лекций по физике за 1,2 семестр

Урок 08. Практическая работа № 2 «Законы Кеплера. Определение масс небесных тел»

Тема: Законы Кеплера. Определение масс небесных тел

Цель занятия: Освоить методику решения задач, используя законы движения планет.

Теоретические сведения

При решении задач неизвестное движение сравнивается с уже известным путём применения законов Кеплера и формул синодического периода обращения.

Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты описывает в равные времена равные площади.

Третий закон Кеплера. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:

Для определения масс небесных тел применяют обобщённый третий закон Кеплера с учётом сил всемирного тяготения:

где М₁ и М₂ -массы каких-либо небесных тел, а m₁ и m₂ — соответственно массы их спутников.

Обобщённый третий закон Кеплера применим и к другим системам, например, к движению планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты. Для этого сравнивают движение Луны вокруг Земли с движением спутника вокруг той планеты, массу которой определяют, и при этом массами спутников в сравнении с массой центрального тела пренебрегают. При этом в исходной формуле индекс надо отнести к движению Луны вокруг Земли массой , а индекс 2 –к движению любого спутника вокруг планеты массой . Тогда масса планеты вычисляется по формуле:

где Т_л и α _л— период и большая полуось орбиты спутника планеты , М⊕ -масса Земли.

Формулы, определяющие соотношение между сидерическим (звёздным) Т и синодическим периодами S планеты и периодом обращения Земли , выраженными в годах или сутках,

а) для внешней планеты формула имеет вид:

б) для внутренней планеты:

Выполнение работы

Задание 1. За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца?

Задание 2. Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты – 422 тыс. км

Задание 3. Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты?

Задание 4. Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут. на среднем расстоянии 438 тыс. км. для луны эти величины равны соответственно 27,3 сут. и 384 тыс. км.

Читайте также: Три луны знак зодиака

Задание 5. Марс дальше от Солнца, чем Земля, в 1.5 раза. Какова продолжительность года на Марсе? Орбиты планет считать круговыми.

Задание 6. Синодический период планеты 500 суток. Определите большую полуось её орбиты и звёздный (сидерический) период обращения.

Задание 7. Определить период обращения астероида Белоруссия если большая полуось его орбиты а=2,4 а.е.

Задание 8. Звёздный период обращения Юпитера вокруг Солнца Т=12 лет. Каково среднее расстояние от Юпитера до Солнца?

Примеры решения задач 1-4

Задание 3. Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты?

Источник

Как ученые измерили массу Земли и других планет?

Планета – объект большой, его на весы не поставишь. Как же ученым удалось узнать массу Земли? Как измеряется масса далеких космических объектов?

Занимательная физика

Существует 2 способа определения массы Земли: с помощью барометра и математических вычислений, или анализа частиц нейтрино.

Барометр и законы Ньютона

Метод, применяемый с XVIII века. Для расчета используются второй закон Ньютона (F=mg) и закон всемирного тяготения (F=G*m*M/R^2).

F – это сила земного притяжения барометра, G – коэффициент гравитационной постоянной, R – радиус планеты, m – вес прибора, M – вес планеты.

Отдельно масса Земли вычисляется по формуле: M = g*R^2/G, где g – это ускорение свободного падения.

Ускорение свободного падения узнали, сбросив барометр с высокой башни и измерив время, которое он пролетел до столкновения с землей. Выяснилось, что за каждую последующую секунду барометр преодолевал почти 9.8 метров. Таким образом, g = 9.8 м/с².

Радиус Земли был известен еще с Античности. Столь сенсационное открытие сделал греческий математик Эратосфен в III веке до н.э.

Ученый подождал день летнего солнцестояния. В это время светило находится в самой высокой точке на небе и в 12 часов отбрасывает наименьшую тень в году.

Математик присмотрелся к обелиску, стоящему неподалеку, измерил отбрасываемую им тень, измерил сам обелиск, высчитал все углы, а потом сделал то же самое в соседнем городе. Расчеты дали ему окружность земли в 38.5 тысяч километров. Современные ученые пересчитали окружность подобным методом и высчитали 40 000 км.

Планета идеальным шаром не является, а потому ее радиус оказался 6371 км.

Труднее всего было найти коэффициент гравитационной постоянной. Для этого исследователи взяли однотонный свинцовый шар и посмотрели, с какой силой он притягивал барометр.

G = 6,67430(15)*10ˆ(-11) Н·м²·кг²

Подставив все эти цифры в уравнение, ученые высчитали, что Земля весит шесть септиллионов кг или 6^24 кг .

Это мельчайшие субатомные частицы, которые испускает Солнце. Они проходят планету насквозь.

Источник