Пересечение и объединение множеств — свойства, операции и примеры решения
Математика часто оперирует абстрактными объектами, для задания связи между которыми существуют различные операции, такие как пересечение и объединение множеств. Понятие множества является интуитивным, не определяемым. Оно обычно ассоциируется с набором чего-либо, группой каких-то предметов или живых объектов, совокупностью некоторых условий, рассматривается как класс, семейство в некоторой классификации, промежуток числовой прямой. Например, в геометрии рассматриваются линии как множества точек.
То, из чего состоит множество, называется его элементами.
Графическим изображением, служащим для наглядности рассматриваемых объектов, является круг Эйлера.
Что такое пересечение множеств
Для любого набора множеств их пересечением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из заданных. Другими словами, это совокупность всех общих элементов.
С помощью кругов Эйлера-Венна пересечение можно изобразить так:
Часто применяется для определения решений систем уравнений и неравенств.
Ассоциируется с обычным умножением двух числовых объектов.
Что такое объединение множеств
Изображение кругами Эйлера выглядит следующим образом:
Часто используется при решении уравнений и неравенств, подчёркивая наличие серий корней и решений, нескольких используемых промежутков числовой прямой.
В обычной математике близко по смыслу с операцией, называемой «сложение».
Свойства пересечения и объединения множеств
Для решения задач нужно знать о следующих свойствах:
1. Коммутативность (перестановочность):
Эти свойства распространяются на любое количество компонентов. Следуют из определения операций.
2. Ассоциативность (расстановка скобок):
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
Данные свойства также применимы к большому количеству компонентов. Позволяют опускать скобки и упрощать запись.
3. Дистрибутивность (раскрытие скобок):
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
4. Закон идемпотентности (идентичности):
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Обозначается перечёркнутым нулём: Ø
Выполнение операций с Ø:
Прослеживается аналог со сложением и умножением на ноль.
Операции над множествами
Помимо объединения и пересечения существуют другие операции:
Для двух множеств A и B можно определить их разность как набор элементов, входящих в A и не содержащихся в B:
Рассматривая некоторое множество в качестве содержащего все остальные, можно прийти к понятию «дополнение», как к совокупности всех элементов, не входящих в A:
Благодаря этой операции свойства объединения и пересечения можно расширить/
Закон де Моргана:
Примеры решения задач
Задача №1
Выписать все элементы множества
При поиске M операции выполняются последовательно.
B \ A состоит из всех элементов B, которые не принадлежат A, поэтому:
B ∪ A включает в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A или B. Таким образом:
M = (B \ A) \ (B ∪ A) состоит из всех элементов B \ A, которые не принадлежат B ∪ A, следовательно, M = Ø.
Задача №2
Доказать методом включений тождество:
Необходимо доказать выполнение включений:
Выбирается произвольный x из (A ∩ B) ∪ C. По определению операции объединения x ∈ B ∩ A или x ∈ C.
Если x ∈ B ∩ A, то по определению пересечения x ∈ B и x ∈ A.
Так как x ∈ A, то x ∈ C ∪ A; так как x ∈ B, то x ∈ C ∪ B, следовательно, x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Если x ∈ C, то x ∈ C ∪ A и x ∈ C ∪ B, а значит: x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Поскольку x ∈ (A ∩ B) ∪ C был выбран произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), то есть:
Выбирается произвольный y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
По определению операции пересечения y ∈ C ∪ A и y ∈ C ∪ B.
Так как y ∈ C ∪ A, то y ∈ A или y ∈ C; так как y ∈ C ∪ B, то y ∈ C или y ∈ B. Таким образом, y ∈ C или y ∈ A и y ∈ B.
Если y ∈ A и y ∈ B, то y ∈ B ∩ A, а, следовательно, y ∈ (A ∩ B) ∪ C; если y ∈ C, то также y ∈ (A ∩ B) ∪ C.
Поскольку y из (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) выбирался произвольно, утверждается, что любой элемент этого множества содержится в (A ∩ B) ∪ C, то есть
Из пунктов 1 и 2 вытекает, что
Источник
Лекция 4. Объединение множеств.
Лекция 4. Объединение множеств. Свойства объединения множеств.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединение множеств А и В обозначают А ∪ В. Таким образом, по определению, А ∪ В = < х | х ∈ А или х ∈ В>.
Например, если А = < a , c , k , m , n > и В = < a , b , c , d , e >,
то А ∪ В = < a , c , k , m , n , b , d , e >.
Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то объединением данных множеств является заштрихованная область (рис. 4).
Для объединения множеств выполняются следующие свойства.
1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∪ В = В ∪ А.
2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С).
3) А ∪ ∅ = А (пустое множество является нейтральным элементом).
4) А ∪ U = U (универсальное множество является поглощающим элементом).
5) Если В ⊂ А, то А ∪ В = В
Операции объединения и пересечения множеств связаны законами дистрибутивности или иначе распределительными свойствами:
(А ∪ В) ∩С = (А∩С) ∪ (В∩С) и (А∩В) ∪ С = (А ∪ С) ∩(В ∪ С).
П р и м е р 1. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.
Р е ш е н и е. Запишем множества А и В, перечислив их элементы: А = < м, а, т, е, и, к >, В = < с, т, е, р, о, м, и, я >. Буквы м, т, е, и принадлежат и множеству А, и множеству В, поэтому они войдут в пересечение этих множеств: А∩В = < м, т, е, и >. В объединение этих множеств войдут все элементы множества А и несовпадающие с ними элементы из множества В: А ∪ В = < м, а, т, е, и, к, с, р, о, я >.
П р и м е р 2 . В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? Только немецкий язык?
Р е ш е н и е. Через А обозначим множество школьников, изучающих английский язык, через В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Рассуждая аналогично, получим, что только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. Теперь известно количество элементов в каждой части множеств, изображенных на диаграмме. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно сложить все числа: 7 + 18 + 9 = 34. Ответ: 34 человека в классе изучают иностранные языки.
Задания для самостоятельной работы по теме:
1.Найдите объединение множеств А и В, если:
2 . Из каких элементов состоит объединение множества букв в слове «математика» и множества букв в слове «геометрия»?
3. М — множество однозначных чисел, Р — множество нечетных натуральных чисел. Из каких чисел состоит объединение данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?
4 . Используя координатную прямую, найдите объединение множеств решений неравенств, в которых х — действительное число:
Источник
Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств
Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.
Простейшие случаи
Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.
Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.
Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.
Из указанных определений логически следуют следующие правила:
— чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;
— чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.
Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.
Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.
Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.
Исходные данные: числовые множества А = < 3 , 5 , 7 , 12 >и В = < 2 , 5 , 8 , 11 , 12 , 13 >. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.
Решение
- Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, к примеру, множества А : 3 , 5 , 7 , 12 . Добавим к ним недостающие элементы множества В : 2 , 8 , 11 и 13 . В конечном итоге имеем числовое множество: < 3 , 5 , 7 , 12 , 2 , 8 , 11 , 13 >. Упорядочим элементы полученного множества и получим искомое объединение: А ∪ B = < 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 >.
- Определим пересечение исходных множеств. Согласно правилу, переберем один за другим все элементы первого множества A и проверим, входят ли они во множество B . Рассмотрим первый элемент — число 3 : он не принадлежит множеству B , а значит не будет являться элементом искомого пересечения. Проверим второй элемент множества A , т.е. число 5 : оно принадлежит множеству B , а значит станет первым элементом искомого пересечения. Третий элемент множества A – число 7 . Оно не является элементом множества B , а, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества A : число 1 . Оно также принадлежит и множеству B , и соответственно станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств – множество, состоящее из двух элементов: 5 и 12 , т.е. А ∩ В = < 5 , 12 >.
Ответ: объединение исходных множеств – А ∪ B = < 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 >; пересечение исходных множеств — А ∩ В = < 5 , 12 >.
Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств A , В и С , возможно сначала определить пересечение A и B , а затем найти пересечение полученного результата с множеством C . На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: А = < 3 , 9 , 4 , 3 , 5 , 21 >, В = < 2 , 7 , 9 , 21 >и С = < 7 , 9 , 1 , 3 >. Пересечение первых двух множеств составит: А ∩ В = < 9 , 21 >, а пересечение полученного множества с множеством А ∩ В = < 9 , 21 >. В итоге: А ∩ В ∩ С = < 9 >.
Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.
Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества: А = < 1 , 2 >, В = < 2 , 3 >, С = < 1 , 3 , 4 , 5 >. К элементам первого множества A добавится число 3 из множества B , а затем – недостающие числа 4 и 5 множества C . Таким образом, объединение исходных множеств: А ∪ В ∪ С = < 1 , 2 , 3 , 4 , 5 >.
Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:
Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число 1 множества B является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества B – число 0 – не является элементом множества A , а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 множества B является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B – число 12 – не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: A ∩ B ∩ C ∩ D = < 1 , 2 >.
Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей
Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой — 5 , 4 . Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению ( — ∞ , — 5 , 4 ) ∪ < - 5 , 4 >∪ ( — 5 , 4 , + ∞ ) . Т.е. множество всех действительных чисел R = ( — ∞ ; + ∞ ) возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.
Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом ( — ∞ , — 5 , 4 ] или [ — 5 , 4 , + ∞ ) . При этом множество R будет описываться следующими объединениями: ( — ∞ , — 5 , 4 ] ∪ ( — 5 , 4 , + ∞ ) или ( — ∞ , — 5 , 4 ) ∪ [ — 5 , 4 , + ∞ ) . .
Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал ( 7 , 32 ] и точка 13 , принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения ( 7 , 13 ) ∪ < 13 >∪ ( 13 , 32 ] и обратно. Мы можем включить число 13 в любой из промежутков и тогда заданное множество ( 7 , 32 ] можно представить, как ( 7 , 13 ] ∪ ( 13 , 32 ] или ( 7 , 13 ] ∪ ( 13 , 32 ] . Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32 ), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала ( 7 , 32 ) и множества из одного элемента < 32 >. Таким образом: ( 7 , 32 ] = ( 7 , 32 ) ∪ < 32 >.
Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами — 6 , 0 , 8 , которые разобьют ее на промежутки: ( — ∞ , — 6 ) , ( — 6 , 0 ) , ( 0 , 8 ) , ( 8 , + ∞ ) . При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:
( — ∞ , — 6 ) ∪ < - 6 >∪ ( — 6 , 0 ) ∪ < 0 >∪ ( 0 , 8 ) ∪ < 8 >∪ ( 8 , + ∞ ) .
Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств
С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).
Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.
Исходные данные: заданы числовые множества А = ( 7 , + ∞ ) и В = [ — 3 , + ∞ ) . Необходимо найти пересечение и объединение данных множеств.
Решение
- Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых. Их необходимо расположить друг над другом. Для удобства принято считать, что точки начала отсчета заданных множеств совпадают, и остается сохранным расположение точек друг относительно друга: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. При этом, если нам интересно объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности; если интересует пересечение, то – фигурной скобкой системы.
В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: 
и 
Изобразим еще одну координатную прямую, расположив ее под уже имеющимися. Она понадобится для отображения искомого пересечения или объединения. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств: сначала черточками, а позже, после выяснения характера точек с этими координатами, черточки будет заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем примере это точки с координатами — 3 и 7 .
и 
Точки, которые изображены на нижней координатной прямой в предыдущем шаге алгоритма, дают возможность рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере координатную прямую представим в виде набора пяти числовых множеств: ( — ∞ , — 3 ) , < - 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) .
Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:
-. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B );
— точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B );
— промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B .
— точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B ).
Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.
- Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: ( — ∞ , — 3 ) , < - 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) . Начнем с множества ( — ∞ , — 3 ) , наглядно выделив его на чертеже:
Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A , ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:
Рассмотрим следующее множество < - 3 >. Число — 3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A , а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой — 3 делаем выколотой:
Оцениваем следующее множество ( — 3 , 7 ) .
Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:
Следующее множество на проверку — < 7 >. Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [ — 3 , + ∞ ) ), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:
И, наконец, проверяем оставшийся промежуток ( 7 , + ∞ ) .
Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:
В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7 , т.е.: А ∩ В = ( 7 , + ∞ ) .
- Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B . Последовательно проверим множества ( — ∞ , — 3 ) , < - 3 >, ( — 3 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , + ∞ ) , устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.
Первое множество ( — ∞ , — 3 ) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество ( — ∞ , — 3 ) не войдет в искомое объединение:
Множество < - 3 >входит в множество B , а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B :
Множество ( — 3 , 7 ) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B :
Множество 7 входит в числовое множество B , поэтому войдет и в искомое объединение:
Множество ( 7 , + ∞ ) , являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:
По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: А ∩ В = [ — 3 , + ∞ ) .
Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.
Исходные данные: множества А = ( — ∞ , — 15 ) ∪ < - 5 >∪ [ 0 , 7 ) ∪ < 12 >и В = ( — 20 , — 10 ) ∪ < - 5 >∪ ( 2 , 3 ) ∪ < 17 >. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.
Решение
Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:
Ответ: А ∩ В = ( — 20 , — 15 ) ∪ < - 5 >∪ ( 2 , 3 ) ; А ∪ В = ( — ∞ , — 10 ) ∪ < - 5 >∪ [ 0 , 7 ] ∪ < 12 , 17 >.
Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.
Исходные данные: множества А = < - 2 >∪ [ 1 , 5 ] и B = [ — 4 , 3 ] .
Необходимо определить пересечение исходных множеств.
Решение
Геометрически изобразим числовые множества А и В :
Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:
( — ∞ , — 4 ) , < - 4 >, ( — 4 , — 2 ) , < - 2 >, ( — 2 , — 1 ) , < 1 >, ( 1 , 3 ) , < 3 >, ( 3 , 5 ) , < 5 >, ( 5 , + ∞ ) .
Легко заметить, что числовое множество A можно записать, объединив некоторые из перечисленных множеств, а именно: < - 2 >, ( 1 , 3 ) , < 3 >и ( 3 , 5 ) . Достаточно будет проверить эти множества на их включенность также в множество В для того, чтобы найти искомое пересечение. Те, что войдут в множество В и станут элементами пересечения. Проведем проверку.
Совершенно понятно, что < - 2 >является частью множества B , ведь точка с координатой — 2 – внутренняя точка отрезка [ — 4 , 3 ) . Интервал ( 1 , 3 ) и множество < 3 >также входят в множество В (над интервалом присутствует штриховка, а точка с координатой 3 является для множества В граничной и невыколотой). Множество ( 3 , 5 ) не будет элементом пересечения, т.к. не входит в множество В (над ним не присутствует штриховка). Отметим все вышесказанное на чертеже:
В итоге искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое мы запишем так: < - 2 >∪ ( 1 , 3 ] .
Ответ: А ∩ В = < - 2 >∪ ( 1 , 3 ] .
В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2 ). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.
Исходные данные: множества А = ( — ∞ , 12 ] , В = ( — 3 , 25 ] , D = ( — ∞ , 25 ) ꓴ < 40 >. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.
Решение
Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:
Таким образом, координатная прямая представлена следующими множествами: ( — ∞ , — 3 ) , < - 3 >, ( — 3 , 12 ) , < 12 >, ( 12 , 25 ) , < 25 >, ( 25 , 40 ) , < 40 >, ( 40 , + ∞ ) .
Начинаем искать пересечения, поочередно проверяя записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Во все три заданных множества входит интервал ( — 3 , 12 ) и множество < - 12 >: они и станут элементами искомого пересечения. Таким образом, получим: A ∩ B ∩ D = ( — 3 , 12 ] .
Объединение заданных множеств составят множества: ( — ∞ , — 3 ) — элемент множества А ; < - 3 >– элемент множества А ; ( — 3 , 12 ) – элемент множества А ; < 12 >– элемент множества А ; ( 12 , 25 ) – элемент множества В ; < 25 >– элемент множества В и < 40 >– элемент множества D . Таким образом, получим: A ∪ B ∪ D = ( — ∞ , 25 ] ∪ < 40 >.
Ответ: A ∩ B ∩ D = ( — 3 , 12 ] ; A ∪ B ∪ D = ( — ∞ , 25 ] ∪ < 40 >.
Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.
Исходные данные: А = [ — 7 , 7 ] ; В = < - 15 >∪ [ — 12 , 0 ) ∪ < 5 >; D = [ — 15 , — 10 ] ∪ [ 10 , + ∞ ) ; Е = ( 0 , 27 ) . Определить пересечение заданных множеств.
Решение
Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.
Отмеченные точки разобьют числовую прямую на множества: ( — ∞ , — 15 ) , < - 15 >, ( — 15 , — 12 ) , < - 12 >, ( — 12 , — 10 ) , < - 10 >, ( — 10 , — 7 ) , < - 7 >, ( — 7 , 0 ) , < 0 >, ( 0 , 5 ) , < 5 >, ( 5 , 7 ) , < 7 >, ( 7 , 10 ) , < 10 >, ( 10 , 27 ) , < 27 >, ( 27 , + ∞ ) .
Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.
Ответ: A ∩ B ∩ D ∩ Е = Ø .
Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.
На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.
Источник