Ахиллес и черепаха: в чем парадокс?
Древнегреческий философ Зенон Элейский знаменит своими парадоксальными рассуждениями. Наиболее известной из апорий Зенона является «Ахиллес и черепаха».
Утверждается, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если она начинает движение раньше Ахиллеса.
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Но что-то тут как-то все непонятно. Давайте по подробнее:
Сначала определимся с терминами.
Софизм — это ложное утверждение, основанное на неразрешимом противоречии или на сознательной ошибке в доказательстве.
Парадокс — это истинное утверждение, имеющее логическое объяснение, но не очевидное в силу противоречивости формулировки.
С точки зрения математики, «Ахиллес и черепаха» является классическим софизмом.
Надо обратить внимание на тот факт, что время постепенно останавливается. Соответственно, скорости Ахиллеса и черепахи, а также их взаимная скорость будут стремиться к нулю. Объекты становятся неподвижны в любой системе координат. Логично, что если скорость ноль, то никто никого не догонит.
Однако это полностью противоречит утверждению, что Ахиллес и черепаха бегут. Кроме того, при остановившемся времени теряет смысл слово «никогда», так как существует лишь «сейчас».
Это и есть софизм. Объекты не могут одновременно и быть неподвижными, и бежать (иметь взаимную скорость).
Однако с точки зрения философии «Ахиллес и черепаха» — это именно парадокс, поскольку не содержит внутренних противоречий и ошибок.
Это классический парадокс целеполагания.
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, потому что поставил цель её «догонять». Если бы он поставил перед собой цель «догнать» или первым достичь финиша, то легко обошёл бы черепаху.
Именно постановка цели «догонять» не позволяет Ахиллесу ни догнать, ни обогнать черепаху. Даже болид Формулы-1 с «табуном лошадей» под капотом при такой постановке цели не сможет догнать улитку. И физика с математикой здесь бессильны.
Данный парадокс широко используется в жизни:
Не гонись за модой — не догонишь. Мода всегда будет на шаг впереди вне зависимости от твоих ресурсов.
Если стремишься быть похожим на кого-то, то всегда будешь лишь вторым (в лучшем случае).
Если государство ставит своей целью догнать другое государство в какой-то сфере, то можно с уверенностью сказать, что никогда не догонит. Даже шанса нет, только ресурсы зазря потратит.
Нужно правильно ставить цель и идти к ней.
Таким образом, зная, какую цель ставит перед собой человек, можно сделать вывод о том, каких результатов он добьется.
Зенон создал блестящий философский парадокс, который встречается в реальной жизни на каждом шагу, каждый раз, когда кто-то ставит перед собой цель. И будет актуален пока существует человечество.
Источник
Почему Ахиллес никогда не догонит черепаху, если на самом деле догонит?
Вряд ли древнегреческий философ Зенон Элейский, придумывая на досуге свои апории – парадоксальные рассуждения о движении и множестве – предполагал, что одна из них, про Ахиллеса и черепаху, переживет его и будет в течение 2,5 тысяч лет на устах всех людей. Между тем, эти апории во все последующие времена вызывали бурные дискуссии в научных кругах, благодаря чему фундаментальные понятия о движении и пространстве, их дискретности или непрерывности, были значительно продвинуты вперед.
Парадокс Зенона
Апория об Ахиллесе и черепахе утверждает, что Ахиллес (быстроногий герой древнегреческого эпоса) никогда не сможет догнать медлительную черепаху. Объясняется этот парадокс следующим образом.
Пусть черепаха начинает гонку, находясь в 1000 шагах впереди Ахиллеса. Также предположим, что Ахиллес бежит в 10 раз быстрее черепахи. После старта за то время, которое Ахиллес пробежит эти 1000 шагов, черепаха успеет проползти 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит эти 100 шагов, черепаха проползет еще 10 шагов. Ахиллес пробежит 10 шагов, а черепаха – еще 1 шаг. Этот процесс будет происходить до бесконечности, и черепаха всегда будет опережать Ахиллеса на 1/10 расстояния, которое успеет пробежать Ахиллес .
Если мы отвлечемся от Ахиллеса и черепахи, то парадокс гласит о том, что если некое тело движется прямолинейно и равномерно из точки А в точку Б, то это тело сначала должно пройти ½ расстояния, затем ¼, затем 1/8, 1/16 и так далее до бесконечности. То есть тело никогда не достигнет точки Б, так как всегда останется то расстояние, которое ему еще необходимо преодолеть.
Есть ли решение?
Любой здравомыслящий человек понимает, что свирепый Ахиллес не только быстро догонит несчастную черепаху, но сразу сделает из нее суп. Но хотите ли вы разрешить этот парадокс? У вас ничего не получится, потому что до сегодняшнего дня это сделать никто так и не смог.
Да, математически несложно доказать ошибочность парадокса, построив ряд из уменьшающихся интервалов и показав, что он в какой-то точке сходится. И математических решений с совершенно разным подходом довольно много. Ведь даже в школьных учебниках полно задач, где необходимо найти время, когда автомобиль нагонит велосипедиста, движущихся с разной скоростью в одном направлении.
Но эта задача отнюдь не математическая , а философская – ведь Зенон как раз и пытался показать ошибочность формального математического подхода к решению этой задачи и к реальному движению. Поэтому математическое разрешение этого парадокса в данном случае неприменимо.
Парадокс Зенона, по сути, сводится к вопросу о сумме бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. Этот парадокс заставляет вникнуть в природу окружающего нас движения и в противоречия конечного и бесконечного, дискретного и непрерывного. В более глобальном смысле Зенон пытался показать проблемы, решение которых помогло бы в развитии строгой логики. И ему это удалось.
Источник
Ахиллес и черепаха: в чём смысл?
Зенон придумал свою знаменитую апорию, вдохновившесь не менее знаменитой «Илиадой», где быстроногий Ахиллес никак не мог догнать более медленного Гектора.
Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно.
Словно как пёс по горам молодого гонит оленя.
Словно во сне человек изловить человека не может,
Сей убежать, а другой уловить напрягается тщетно, —
Так и герои, ни сей не догонит, ни тот не уходит.
Вот и задумался Зенон: а как это возможно, чтобы быстрый беглец не мог догнать медленного?
В варианте Симпликия медленный беглец превратился в черепаху, и сейчас апория «Ахиллес» известна как «Ахиллес и черепаха». Мы тоже будем для удобство говорить именно так.
Итак, быстрый Ахиллес видит черепаху в сотне метрах и хочет её догнать. Но пока Ахиллес бежит эти сто метров, черепаха проходит десять.
Ахиллес проходит и эти десять метров. Тем временем черепаха отдаляется на один метр.
Так, сколько бы не пробежал Ахиллес, черепаха снова от него отдалится. Поэтому он никогда не догонит черепаху.
Очевидно, что вывод в апории неверный. Можно даже высчитать, когда Ахиллес догонит черепаху:
Пусть скорость черепахи — x, а скорость Ахиллеса — 10*x
Расстояние между ними — 100 метров.
t — время, которое прошло с начала гонки.
Ахиллес догонит черепаху, когда (10*x*t) = (100+x*t), то есть когда (100 — 9*x*t)=0
Получается, Ахиллес догонит черепаху через время t = 100/9*x, где x — скорость черепахи.
Но дело же не в расчётах.
Эти апории нужны были, чтобы продемонстрировать проблемы науки и изучения времени и пространства.
Делимы ли время и пространство? Они дискретны или непрерывны? Может ли конечное пространство или время состоять из бесконечно числа нулевых или ненулевых составных частей? Существуют ли неделимые кванты времени и пространства? Можно ли вообще применять математические расчёты к реальным физическим ситуациям?
Цель Зенона — не доказать очевидно ложное высказывание , а вызвать спор и привлечь внимание к этим вопросам.
Источник
Почему Ахиллес никогда не догонит черепаху: про знаменитые апории Зенона
Даже те, кто пересдавал философию по несколько раз, не в силах сразу получить тройку, должны помнить словосочетание «апории Зенона». Это логические парадоксы, которые до сих пор не имеют определенного решения. Над этими апориями интеллектуальная часть человечества думает уже более 2000 лет.
В чем их загадка?
Сперва напомню, кто такой был этот Зенон. Он был представителем элейской школы философии в Древней Греции (V в до н.э), учеником знаменитого Парменида, который ввел в философию понятие «бытие».
Элеаты утверждали, что, поскольку бытие тождественно мышлению и равно самому себе, то есть заполняет собой вообще все, никакого движения нет. Бытие неподвижно в принципе.
Опираясь на это утверждение, Зенон и сформулировал свои апории. Мы знаем о них благодаря работам других мыслителей, пересказавших эти парадоксы. В апориях Зенон показывает невозможность движения, даже если на практике мы постоянно видим и ощущаем его.
Кстати, эти идеи ужасно выводили из себя другого философа — Гераклита, который утверждал обратное, а именно, что мир находится в постоянном движении и развитии. На этой почве они с Зеноном яростно спорили, доходило вплоть до мордобития.
Но вернемся к апориям.
Самая знаменитая из них гласит, что Ахиллес (самый быстроногий бегун Греции) никогда не догонит черепаху, если стартует позже ее на тысячу шагов. Почему?! Потому что, когда он достигнет той точки, где была черепаха в момент его старта, она уже отползет на какое-то расстояние. Ахиллес примчится туда — а она опять в другой точке пространства. И т.д. до бесконечности.
Другая апория называется «Стрела». Суть: летящая стрела покоится. Что за черт? Почему?! Она ж летит! Объяснение такое: в каждый момент времени стрела занимает определенное место в пространстве, то есть находится там недвижно. Меняется момент — она опять в каком-то месте пространства. И опять покорится. И так всю дорогу. Получается, что стрела постоянно висит в пространстве недвижно.
По сути говоря, Зенон как был разбил этот полет на кадры и увидел в своем воображении первое в мире кино по кадрам.
Еще одна апория — «Дихотомия». То есть деление на два. Чтобы дойти до цели, надо пройти половину расстояния. Но чтобы дойти до той половины — ее половину. И т.д. В результате ты топчешься на месте.
Зенону приписывают и другие апории, но эти три самые известные. В чем же их загвоздка? Почему очевидный факт вдруг стал загадкой? Ясно же, что Ахилл догонит, стрела летит, человек доходит до намеченного пункта.
Но на самом деле, следуя логике Зенона — НЕТ. Потому что он разбил время и пространство на части, показав их дискретность. А в таком дискретном времени-пространстве кажущиеся бредом доводы Зенона не опровержимы.
Глубочайшие умы человечества пытались опровергнуть апории Зенона. Гераклит, Аристотель, Кант, Гегель, не говоря о более мелких фигурах. Никто не сумел сделать это убедительно. Эти парадоксы решают и философы, и логики, и математики — как об стену горох.
Так что пока апории Зенона остаются нерешенными загадками.
Источник
Парадокс «Ахиллес и черепаха» или запудривание мозгов.
Я думаю практически все знают, как звучит этот парадокс:
«Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.» Но, естественно, если человек обладает здравым смыслом, он понимает, что на практике эта дичь не работает, и если изначально первый объект движется быстрее второго, то он всегда его догонит и перегонит. Давайте по порядку разберемся в этом «парадоксе».
1) 1-е предложение: «Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов.» Тут как-бы все ясно. Из этого предложения стало ясно, что скорость Ахиллеса в 10 раз больше скорости черепахи. Это означает, что за определенный промежуток времени, Ахиллес пробежит расстояние в 10 раз больше черепахи. Запомним это.
2) 2-е предложение: «За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние (1000 шагов), черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов.» Ок, визуально представили себе эту картину.
3) 3-е предложение: Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. И вот тут начинается незаметное запудривание.
Разберем по-подробнее 2-е предложение: «За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние (1000 шагов), черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов.» Давайте условно возьмем, сколько времени пройдет, когда Ахиллес преодолеет расстояние в 1000 шагов, а черепаха-100 шагов. Допустим, это 10 секунд. Далее, в 3-ем предложении говорится, что когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. В данном случае, поскольку преодоленное расстояние Ахиллесом и черепахой в 10 раз меньше ( 100 vs 10 шагов) относительно первого пройденного этапа, соответственно и время потраченное на это расстояние также в 10 раз меньше и равна 1 секунде ( надеюсь этот момент понятен).
Что в итоге получается. Почему создается впечатление, что Ахиллес никогда не догонит черепаху? Да потому что условие «парадокса» преподносится таким образом, что многим становится незаметно, что с каждым приближением Ахиллеса к черепахе, течение времени какого-то хрена в 10 раз замедляется. Можно время так замедлять до бесконечноти, понятное дело, что при таком раскладе Ахиллес никогда не догонит эту бедную черепаху. Но ведь время то у нас течет непрерывно (давайте пока Эйнштейна оставим в покое). Поэтому, вот что будет на самом деле. В течении 10 секунд, Ахиллес пробежит 1000 шагов, черепаха — 100. Разница между ними в 100 шагов (пока черепаха лидирует). Далее, по истечении еще 10 секунд, Ахиллес пробежит еще 1000 шагов, а черепаха опять 100, ведь их скорости перемещения постоянны исходя из условия! В итоге, по истечении 20 секунд, Ахиллес обгонит черепашку уже на 800 шагов. Так что логику никто не отменял. Отталкиваться нужно, исходя из пройденного абсолютного времени при перемещении двух объектов, а не относительно расстояния между ними. Надеюсь будет понятно, что я тут настрочил.
Источник