Луна вращается вокруг земли по круговой орбите радиусом 384
2019-12-12 
Космический корабль вращается вокруг Луны по круговой орбите радиуса $R = 3,4 \cdot 10^ <6>м$. С какой скоростью нужно выбросить из корабля вымпел по касательной к траектории корабля, чтобы он упал на противоположной стороне Луны? Через какое время вымпел упадет на Луну? Принять, что ускорение свободного падения тел вблизи Луны в 6 раз меньше земного. Радиус Луны принять равным $1,7 \cdot 10^ <6>м$.
Вымпел, выброшенный из корабля, должен двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Луны (рис.). Большая ось этой орбиты равна $R + R_<л>$, где $R_<л>$ — радиус Луны. Найдем скорость $v_<1>$, которую должен иметь вымпел в максимально удаленной точке A этой орбиты (т. е. в точке выброса вымпела из корабля). Для этого воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Кеплера.
Сила тяготения между вымпелом и Луной аналогична силе взаимодействия двух точечных электрических зарядов противоположных знаков. Поэтому, зная выражение для потенциала поля точечного заряда, можно по аналогии записать выражение для потенциальной энергии вымпела в точке А в виде
($M_<л>$ — масса Луны, $m$ — масса вымпела) В точке В — точке касания траектории вымпела поверхности Луны потенциальная энергия равна
Кинетическая энергия вымпела в точках А и В равна
где $v_<2>$ — скорость вымпела в точке В. Согласно закону сохранения энергии
Сокращая на $m$ и учитывая, что $\gamma \frac
Из второго закона Кеплера можно получить еще одно соотношение между скоростями $v_<1>$ и $v_<2>$. Согласно этому закону радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади, поэтому
Из уравнений (1) и (2) найдем $v_<1>$:
Для того чтобы определить скорость, с которой нужно выбросить вымпел относительно корабля, нам еще нужно найти скорость $v_<0>$ корабля на его круговой орбите. Поскольку корабль вращается по окружности под действием силы тяготения, то
($m_<1>$ — масса корабля). Отсюда
Очевидно, что $v_ <1>< v_<0>$, следовательно.
$v = v_ <0>— v_ <1>= \sqrt
С такой скоростью и нужно выбросить вымпел назад, чтобы он упал на противоположную сторону Луны.
Осталось теперь найти время падения вымпела. Воспользуемся для этого третьим законом Кеплера: квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит. Период обращения корабля (или вымпела) по круговой орбите радиуса $R$ равен
Обозначим через $T$ период обращения вымпела по эллиптической орбите, касающейся поверхности Луны. Согласно третьему закону Кеплера
$T = T_ <0>\sqrt < \left ( \frac< \frac
Источник