Луна спутник земли является высказыванием ложным простым

Высшая математика Мат.
логика и теория множеств

Упражнение. Какие из перечисленных записей являются высказываниями? Какие из высказываний истинны, какие ложны? 1) 17; 2) 125+11=7140; 3) мотоцикл; 4) высокая гора; 5) вдоль дороги; 6) на берегу Черного моря расположен город Сочи; 7) 7>5; 8) 21−7=14; 9) (812−213):20=30; 10) 358-(160+240); 11) 200=250. Вкладчик в начале года часть имевшихся у него денег положил в один банк под 60% годовых… Читать ещё >

Высшая математика Мат. логика и теория множеств ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Содержание

• Тема 1. Понятия о высказываниях

Упражнение. Какие из перечисленных записей являются высказываниями? Какие из высказываний истинны, какие ложны? 1) 17; 2) 125+11=7140; 3) мотоцикл; 4) высокая гора; 5) вдоль дороги; 6) на берегу Черного моря расположен город Сочи; 7) 7>5; 8) 21−7=14; 9) (812−213):20=30; 10) 358-(160+240); 11) 200=250.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Укажите среди следующих предложений высказывания: «Луна спутник Земли»; «Все учащиеся нашей группы любят математику»; «Принеси мне, пожалуйста, книгу»; «Некоторые люди в нашем городе имеют голубые глаза»; «Окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет одинаковую величину»; «Вы были сегодня в театре?».

2.Установите, какие из предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями: а) число 2 меньше числа 0; b) частное от деления числа 7 на 5 равно 0; с) сумма чисел 5 и 3 равна 10; d) существует такое действительно число, что; е) .

Придумайте по 3 истинных и ложных высказывания.

3. Из учебников математики выписать несколько текстовых задач и определить, разбив их на предложения, являются ли эти предложения высказываниями. Определить истинность этих высказываний. Установить, связаны ли высказывания союзами «и», «а», «но», «либо», «или», «если, то».

4. Среди высказываний укажите сложные; выделите в них простые, обозначив каждое из них буквой. Запишите с помощью букв каждое сложное высказывание: а) На уроке математики учащиеся отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу; b) Мы пойдем кататься на коньках или на лыжах; с) Если в данном четырехугольнике диагонали имеют равную длину, то этот четырехугольник — ромб; d) -17

Упражнение. Какие из перечисленных записей являются высказываниями? Какие из высказываний истинны, какие ложны? 1) 17; 2) 125+11=7140; 3) мотоцикл; 4) высокая гора; 5) вдоль дороги; 6) на берегу Черного моря расположен город Сочи; 7) 7>5; 8) 21−7=14; 9) (812−213):20=30; 10) 358-(160+240); 11) 200=250.

1) 17 не является высказыванием, т.к. это не повествовательное предложение, более того это слово.

2) Является высказыванием, т.к. относительно этого повествовательного предложения можно говорить, что оно ложно. Это высказывание ложное.

4) Не является высказыванием. Это словосочетание.

6) Это высказывание, причем истинное, т.к. относительно этого повествовательного предложения можно говорить, что оно истинно.

10) Не является высказыванием, а представляет собой числовое выражение, в котором ничего не утверждается.

Оставшиеся примеры рассмотреть самостоятельно.

3) мотоцикл не является высказыванием, т.к. это просто слово;

5) вдоль дороги не является высказыванием, т.к. это словосочетание;

7) 7>5 это высказывание, причем истинное, т.к. число семь действительно больше пяти;

8) 21−7=14 равенство, которое является высказыванием, причем истинное, т.к. данное равенство верно;

9) (812−213):20=30 равенство, которое является высказыванием, причем ложным, т.к. равенство не верно;

11) 200=250 равенство, которое является ложным высказыванием, т.к. не верно.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Укажите среди следующих предложений высказывания: «Луна спутник Земли»; «Все учащиеся нашей группы любят математику»; «Принеси мне, пожалуйста, книгу»; «Некоторые люди в нашем городе имеют голубые глаза»; «Окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет одинаковую величину»; «Вы были сегодня в театре?».

«Луна спутник Земли» — высказывание, т.к. это повествовательное предложение относительно которого можно сказать, что оно истинно;

«Все учащиеся нашей группы любят математику» — высказывание, т.к. это повествовательное предложение относительно которого можно сказать, что истинно оно или ложно;

«Принеси мне, пожалуйста, книгу» — не является высказыванием, т.к. является побудительным предложением;

«Некоторые люди в нашем городе имеют голубые глаза» — высказывание, т.к. это повествовательное предложение относительно которого можно сказать, что истинно оно или ложно;

«Окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет одинаковую величину» — истинное высказывание;

«Вы были сегодня в театре?» — не является высказыванием, т.к. данное предложение вопросительное и нельзя сказать истинно оно или ложно.

2. Установите, какие из предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями: а) число 2 меньше числа 0; b) частное от деления числа 7 на 5 равно 0; с) сумма чисел 5 и 3 равна 10; d) существует такое действительно число, что; е) [17, «https://referat.bookap.info»].

Придумайте по 3 истинных и ложных высказывания.

а) число 2 меньше числа 0 истинное высказывание, т.к. действительно ;

b) частное от деления числа 7 на 5 равно 0 ложное высказывание, т.к. частное от деления: ;

с) сумма чисел 5 и 3 равна 10 ложное высказывание, т.к. 5+3=8;

d) существует такое действительно число, что — истинное высказывание, т.к. уравнение на множестве действительных чисел имеет решение ();

е) — истинное высказывание, т.к. данное равенство верно.

2) квадрат это прямоугольник, у которого две смежные стороны равны;

3) 456 делится на 3;

1) треугольник это многоугольник, у которого все стороны равны;

2) разность чисел 10 и 2 меньше 5;

3) уравнение не имеет корней.

3. Из учебников математики выписать несколько текстовых задач и определить, разбив их на предложения, являются ли эти предложения высказываниями. Определить истинность этих высказываний. Установить, связаны ли высказывания союзами «и», «а», «но», «либо», «или», «если, то».

1. Лыжник проходил каждый следующий виток круговой трассы на одно и то же время дольше, чем предыдущий. На второй и четвертый витки он затратил в сумме 3 мин. 20 с. За какое время лыжник прошел первые пять витков?

«Лыжник проходил каждый следующий виток круговой трассы на одно и то же время дольше, чем предыдущий» — высказывание простое истинное.

«На второй и четвертый витки он затратил в сумме 3 мин. 20 с.» — высказывание простое истинное.

«За какое время лыжник прошел первые пять витков?» — не является высказыванием, т.к. является вопросительным предложением.

2. Если запланированный биржей объем торгов на август увеличить втрое, то суммарный объем торгов в июле и в августе возрастет вдвое. Во сколько раз надо увеличить план на июль, оставив неизменным план на август, чтобы суммарный объем торгов возрос втрое?

«Если запланированный биржей объем торгов на август увеличить втрое, то суммарный объем торгов в июле и в августе возрастет вдвое» — высказывание сложное может быть как истинным, так и ложным.

«Во сколько раз надо увеличить план на июль, оставив неизменным план на август, чтобы суммарный объем торгов возрос втрое?» — не является высказыванием.

3. Вкладчик в начале года часть имевшихся у него денег положил в один банк под 60% годовых, а остальные деньги в другой банк под 40% годовых. Через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось. Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?

«Вкладчик в начале года часть имевшихся у него денег положил в один банк под 60% годовых, а остальные деньги в другой банк под 40% годовых» — высказывание сложное истинное.

«Через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось» — высказывание простое истинное.

«Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?» — не является высказыванием.

Источник

Луна спутник земли является высказыванием ложным простым

Краткое введение в логику высказываний

Прежде всего нужно определиться с понятиями, потому что один и тот же раздел часто называют по-разному: математическая логика, логика высказываний (предложений), символическая логика, двузначная логика, пропозициональная логика, булева алгебра. Я больше склоняюсь к «логике высказываний» (простое высказывание рассматривается как неделимая частица).

Обо всем этом написано много умных книжек разными авторами в разное время на разных языках. Можно найти много «поучительных» ссылок в интернете. Я не стремлюсь объять необъятное (хотя иногда очень хочется), моя цель — постараться преподнести материал как инструмент для решения ряда интересных задач обычно бывает наоборот 🙂 — задачи служат для понимания, осмысления и запоминания пройденного).

Это краткое введение, разумеется, не исчерпывает тему полностью, и если у вас возникают вопросы, спрашивайте.

Для начала несколько определений от mega.km.ru (можно пропустить :)):

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ, раздел логики, в котором вопрос об истинности или ложности высказываний рассматривается и решается на основе изучения способа построения высказываний из т.н. элементарных (далее не разлагаемых и не анализируемых) высказываний с помощью логических операций конъюнкции («и»), дизъюнкции («или»), отрицания («не»), импликации («если. то. «) и др. Логику высказываний, задаваемую системой постулатов (аксиом и правил вывода), называют исчислением высказываний.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ, мысль, выраженная повествовательным предложением и могущая быть истинной или ложной.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ, высказывание, истинность или ложность которого может быть установлена исключительно на основе анализа его грамматической или логической структуры. Примеры истинных аналитических высказываний логические законы.

СУЖДЕНИЕ, форма мышления, представляющая собой сочетание понятий, из которых одно (субъект) определяется и раскрывается через другое (предикат).

ЛОГИЧЕСКИЙ ЗАКОН, название законов, образующих основу логической дедукции; схема логической связи высказываний, выражаемая общезначимой формулой логики (аксиомой или теоремой), убедительность которой вытекает из одного только истолкования входящих в нее логических операций и по существу не связана с фактической истинностью «наполняющих» ее высказываний.

ТОЖДЕСТВЕННАЯ ИСТИННОСТЬ, свойство сложных высказываний быть истинными в силу своей формально-логической структуры и смысла используемых в них логических операций. Будучи независимыми от содержания входящих в них конкретных высказываний, тождественно-истинные высказывания выступают в качестве логических законов.

Итак, какие бывают высказывания?

Пока достаточно того, что высказывание может быть простым или сложным, истинным или ложным. Например, высказывание «Идет дождь» — простое, а истинное оно или ложное зависит от того, какая погода сейчас за окном. Если действительно не переставая льет дождь, то высказывание — истинное, а если нещадно палит солнце, и бесполезно ждать дождя, то высказывание «Идет дождь» будет ложным.

А можно взять для примера более определенное (в смысле значения истинности) высказывание «Луна — спутник Земли» — простое и истинное. А вот «Солнце — спутник Земли» будет ложным высказывание (и простым). Усложняем задачу: «Луна — спутник Земли и Солнце — спутник Земли». На этот раз наше высказывание сложное, т.к. оно состоит из двух простых, и, что самое важное, это высказывание ложное, так уж устроена логическая (пропозициональная) связка «и» (конъюнкция). Если она обьединяет истинные высказывания — сложное высказывание будет истинным, а во всех остальных случаях — ложным. А сколько всего случаев? Каждое высказывание может быть истинным или ложным, если рассматривать два высказывания, то получим 4 комбинации: оба истинные, оба ложные, одно истинное, другое ложное, и наоборот.

Рассмотрим теперь высказывание «Луна — спутник Земли или Солнце — спутник Земли» — сложное и истинное. На этот раз связующим звеном выступает «или» (дизъюнкция), которая принимает ложное значение только когда все входящие высказывания — ложные, если хотя бы одно истинное, то все дизъюнктивное высказывание — истинное.

Но мы еще можем превратить высказывание «Луна — спутник Земли» в ложное, а «Солнце — спутник Земли» в истинное, если скажем «Неверно, что Луна — спутник Земли» и «Неверно, что Солнце — спутник Земли». Так действует на высказывания связка «не» (отрицание): истинные высказывания превращает в ложные, а ложные — в истинные. Теперь высказывание «Луна — спутник Земли и неверно, что Солнце — спутник Земли» — истинное, «Неверно, что Луна — спутник Земли или Солнце — спутник Земли» — ложное.

Еще одна интересная связка «если . то . » (импликация). Рассмотрим высказывание «Если Луна — спутник Земли, то и Солнце — спутник Земли». Здравый смысл подсказывает, что это высказывание ложное, но истинным будет «Если Луна — спутник Земли, то неверно, что Солнце — спутник Земли». Высказывание же «Если Солнце — спутник Земли, то и Луна — спутник Земли» — истинное, несмотря на кажущуюся абсурдность. И высказывание «Если Солнце — спутник Земли, то все что угодно» — тоже истинное. В таких случаях мне нравится высказывaние «Если я — балерина, то Луна — зеленая» или что-нибудь подобное.

Перечислить все возможные комбинации логических значений двух высказываний можно с помощью следующей таблицы:

Два высказывания — 4 строчки в таблице. Три различных высказывания — 8 комбинаций, 4 — 16 и т.д. n высказываний — 2 n комбинаций.

Какие символы лучше использовать для обозначения логических связок? Фантазия в этой области безгранична. 🙂 Трудно найти две книги, в которых авторы придерживались бы одинаковых обозначений. Тем не менее, некоторая логика 🙂 в этом есть. Но далеко не все символы могут быть воспроизведены в электронном тексте, поэтому часто прибегают к включению в текст небольших графических файлов.
Остановимся пока на следующих обозначениях:

a.

конъюнкция

• «. и . »
  • a & b (a, b — конъюнкты).

дизъюнкция

• «. или . »
  • a v b (a, b — дизъюнкты).

импликация

• «если . то . »
  • a =>b (a — основание, b — следствие).

эквивалентность (равнозначность)

• «. тогда и только тогда . «, «. если и только если . »
  • ab.