Изображение луны даваемое линзой

Изображение S Луны, даваемое объективом, располагается в его фокальной плоскости. Расстояние $a_<1>$ от этого изображения до окуляра при наблюдении глазом найдем по формуле линзы (рис.):

где $b_ <1>= — d$ (изображение, даваемое окуляром, мнимое), или

Найдем теперь расстояние $a_<2>$ от изображения $S$ до окуляра при наблюдении на экране (рис.):

Смещение окуляра $a_ <2>— a_<1>$ равно, таким образом, 2,08 см. Линейный размер $h^< \prime>$ изображения Луны легко найти, рассматривая подобные треугольники на рис.:

Здесь $h$ — линейный размер изображения $S$, даваемого объективом/ При написании последней формулы принята во внимание малость угла $\alpha$; это позволяет с хорошим приближением записать $h \approx \alpha F_<1>$. Подставляя числовые значения, получим $h^ < \prime>= 7 см$.

Источник

Изображение луны даваемое линзой

Тема. Решение задач по теме «Линзы. Построение изображений в тонкой линзе. Формула линзы».

Цель:

• — рассмотреть примеры решения задач на применение формулы тонкой линзы, свойства основных лучей и правила построения изображений в тонкой линзе, в системе двух линз.

Прежде чем приступить к выполнению задания, необходимо повторить определения главной и побочной оптических осей линзы, фокуса, фокальной плоскости, свойства основных лучей при построении изображений в тонких линзах, формулу тонкой линзы (собирающей и рассеивающей), определение оптической силы линзы, увеличения линзы.

Для проведения занятия учащимся предлагается несколько расчетных задач с объяснением их решения и задачи для самостоятельной работы.

1. С помощью собирающей линзы на экране получено действительное изображение предмета с увеличением Г₁. Не изменяя положение линзы, поменяли местами предмет и экран. Каким окажется увеличение Г₂ в этом случае?
2. Как надо расположить две собирающие линзы с фокусными расстояниями F₁ и F₂, чтобы параллельный пучок света, пройдя через них, остался параллельным?
3. Объясните, почему для того, чтобы получить четкое изображение предмета, близорукий обычно щурит глаза?
4. Как изменится фокусное расстояние линзы, если ее температура повысится?
5. На рецепте врача написано: +1,5 Д. Расшифруйте, какие это очки и для каких глаз?

Примеры решения расчетных задач

Задача 1. Заданы главная оптическая ось линзы NN, положение источника S и его изображения S´. Найдите построением положение оптического центра линзы С и ее фокусов для трех случаев (рис. 1).

Для нахождения положения оптического центра С линзы и ее фокусов F используем основные свойства линзы и лучей, проходящих через оптический центр, фокусы линзы или параллельно главной оптической оси линзы.

Случай 1. Предмет S и его изображение расположены по одну сторону от главной оптической оси NN (рис. 2).

Проведем через S и S´ прямую (побочную ось) до пересечения с главной оптической осью NN в точке С. Точка С определяет положение оптического центра линзы, расположенной перпендикулярно оси NN. Лучи, идущие через оптический центр С, не преломляются. Луч SA, параллельный NN, преломляется и идет через фокус F и изображение S´, причем через S´ идет продолжение луча SA. Это значит, что изображение S´ в линзе является мнимым. Предмет S расположен между оптическим центром и фокусом линзы. Линза является собирающей.

Случай 2. Проведем через S и S´ побочную ось до пересечения с главной оптической осью NN в точке С — оптическом центре линзы (рис. 3).

Луч SA, параллельный NN, преломляясь, идет через фокус F и изображение S´, причем через S´ идет продолжение луча SA. Это значит, что изображение мнимое, а линза, как видно из построения, рассеивающая.

Случай 3. Предмет S и его изображение лежат по разные стороны от главной оптической оси NN (рис. 4).

Соединив S и S´, находим положение оптического центра линзы и положение линзы. Луч SA, параллельный NN, преломляется и через фокус F идет в точку S´. Луч через оптический центр идет без преломления.

Задача 2. На рис. 5 изображен луч АВ, прошедший сквозь рассеивающую линзу. Постройте ход луча падающего, если положение фокусов линзы известно.

Продолжим луч АВ до пересечения с фокальной плоскостью РР в точке F´ и проведем побочную ось ОО через F´ и С (рис. 6).

Луч, идущий вдоль побочной оси ОО, пройдет, не меняя своего направления, луч DA, параллельный ОО, преломляется по направлению АВ так, что его продолжение идет через точку F´.

Задача 3. На собирающую линзу с фокусным расстоянием F₁ = 40 см падает параллельный пучок лучей. Где следует поместить рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F₂ = 15 см, чтобы пучок лучей после прохождения двух линз остался параллельным?

Решение: По условию пучок падающих лучей ЕА параллелен главной оптической оси NN, после преломления в линзах он должен таковым и остаться. Это возможно, если рассеивающая линза расположена так, чтобы задние фокусы линз F₁ и F₂ совпали. Тогда продолжение луча АВ (рис. 7), падающего на рассеивающую линзу, проходит через ее фокус F₂, и по правилу построения в рассеивающей линзе преломленный луч BD будет параллелен главной оптической оси NN, следовательно, параллелен лучу ЕА. Из рис. 7 видно, что рассеивающую линзу следует поместить на расстоянии d=F₁-F₂=(40-15)(см)=25 см от собирающей линзы.

Ответ: на расстоянии 25 см от собирающей линзы.

Задача 4. Высота пламени свечи 5 см. Линза дает на экране изображение этого пламени высотой 15 см. Не трогая линзы, свечу отодвинули на l = 1,5 см дальше от линзы и, придвинув экран, вновь получили резкое изображение пламени высотой 10 см. Определите главное фокусное расстояние F линзы и оптическую силу линзы в диоптриях.

Решение: Применим формулу тонкой линзы , где d — расстояние от предмета до линзы, f — расстояние от линзы до изображения, для двух положений предмета:

, (1)

. (2)

Из подобных треугольников АОВ и A₁OB₁ (рис. 8) поперечное увеличение линзы будет равно = , откуда f₁ = Γ₁d₁.

Аналогично для второго положения предмета после передвижения его на l: , откуда f₂ = (d₁ + l)Γ₂.
Подставляя f₁ и f₂ в (1) и (2), получим:

. (3)
Из системы уравнений (3), исключив d₁, находим

.
Оптическая сила линзы

дптр.

Ответ: , дптр.

Задача 5. Двояковыпуклая линза, сделанная из стекла с показателем преломления n = 1,6, имеет фокусное расстояние F₀ = 10 см в воздухе (n₀ = 1). Чему будет равно фокусное расстояние F₁ этой линзы, если ее поместить в прозрачную среду с показателем преломления n₁ = 1,5? Определите фокусное расстояние F₂ этой линзы в среде с показателем преломления n₂ = 1,7.

Оптическая сила тонкой линзы определяется формулой

,
где n_л — показатель преломления линзы, n_ср — показатель преломления среды, F — фокусное расстояние линзы, R₁ и R₂ — радиусы кривизны ее поверхностей.

Если линза находится в воздухе, то

; (4)
в среде с показателем преломления n₁:

; (5)
в среде с показателем преломления n :

. (6)
Для определения F₁ и F₂ выразим из (4):

.
Подставим полученное значение в (5) и (6). Тогда получим

см,

см.
Знак «-» означает, что в среде с показателем преломления большим, чем у линзы (в оптически более плотной среде) собирающая линза становится рассеивающей.

Ответ: см, см.

Задача 6. Система состоит из двух линз с одинаковыми по модулю фокусными расстояниями. Одна из линз собирающая, другая рассеивающая. Линзы расположены на одной оси на некотором расстоянии друг от друга. Известно, что если поменять линзы местами, то действительное изображение Луны, даваемое этой системой, сместится на l = 20 см. Найдите фокусное расстояние каждой из линз.

Рассмотрим случай, когда параллельные лучи 1 и 2 падают на рассеивающую линзу (рис. 9).

После преломления их продолжения пересекаются в точке S, являющейся фокусом рассеивающей линзы. Точка S является «предметом» для собирающей линзы. Ее изображение в собирающей линзе получим по правилам построения: лучи 1 и 2, падающие на собирающую линзу, после преломления проходят через точки пересечения соответствующих побочных оптических осей ОО и O´O´ с фокальной плоскостью РР собирающей линзы и пересекаются в точке S´ на главной оптической оси NN, на расстоянии f₁ от собирающей линзы. Применим для собирающей линзы формулу

, (7)
где d₁ = F + a.

Пусть теперь лучи падают на собирающую линзу (рис. 10). Параллельные лучи 1 и 2 после преломления соберутся в точке S (фокусе собирающей линзы). Падая на рассеивающую линзу, лучи преломляются в рассеивающей линзе так, что продолжения этих лучей проходят через точки пересечения К₁ и К₂ соответствующих побочных осей О₁О₁ и О₂О₂ с фокальной плоскостью РР рассеивающей линзы. Изображение S´ находится в точке пересечения продолжений вышедших лучей 1 и 2 с главной оптической осью NN на расстоянии f₂ от рассеивающей линзы.
Для рассеивающей линзы

, (8)
где d₂ = a — F.
Из (7) и (8) выразим f₁ и —f₂ :

, .
Разность между ними по условию равна

l = f₁ — (-f₂) = .
Откуда см.

Ответ: см.

Задача 7. Собирающая линза дает на экране изображение S´ светящейся точки S, лежащей на главной оптической оси. Между линзой и экраном на расстоянии d = 20 см от экрана поместили рассеивающую линзу. Отодвигая экран от рассеивающей линзы, получили новое изображение S´´ светящейся точки S. При этом расстояние нового положения экрана от рассеивающей линзы равно f = 60 см.

Определите фокусное расстояние F рассеивающей линзы и ее оптическую силу в диоптриях.

Изображение S´ (рис. 11) источника S в собирающей линзе Л₁ находится на пересечении луча, идущего вдоль главной оптической оси NN и луча SA после преломления идущего в направлении AS´ по правилам построения (через точку К₁ пересечения побочной оптической оси ОО, параллельной падающему лучу SA, с фокальной плоскостью Р₁Р₁ собирающей линзы). Если поставить рассеивающую линзу Л₂, то луч AS´ изменяет направление в точке К, преломляясь (по правилу построения в рассеивающей линзе) в направлении KS´´. Продолжение KS´´ проходит через точку К₂ пересечения побочной оптической оси 0´0´ с фокальной плоскостью Р₂Р₂ рассеивающей линзы Л₂.

По формуле для рассеивающей линзы

,
где d — расстояние от линзы Л₂ до предмета S´, f — расстояние от линзы Л₂ до изображения S´´.

Отсюда см.
Знак «-» указывает, что линза рассеивающая.

Оптическая сила линзы дптр.

Ответ: см, дптр.

Задачи для самостоятельной работы

Тонкая стеклянная линза имеет оптическую силу D = 5 дптр. Когда эту линзу погружают в жидкость с показателем преломления n₂, она действует как рассеивающая с фокусным расстоянием F = 100 см. Определите показатель преломления n₂ жидкости, если показатель преломления стекла линзы n₁ = 1,5.

Ответ:.
Предмет находится на расстоянии а = 0,1 м от переднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается четкое изображение предмета, расположен на расстоянии b = 0,4 м от заднего фокуса линзы. Найдите фокусное расстояние F линзы. С каким увеличением Γ изображается предмет?

Ответ:F = √(ab) = 2·10 -1 м; .
Две собирающие линзы с фокусными расстояниями F₁ = 10 см и F₂ = 15 см расположены вдоль общей главной оптической оси на расстоянии l = 30 см друг от друга. Где следует поместить точечный источник света, чтобы идущие от него лучи после прохождения обеих линз образовали пучок лучей, параллельных главной оптической оси? Рассмотрите два варианта.

Ответ: см перед первой линзой;

см за второй линзой.
Линза с фокусным расстоянием F = 5 см плотно вставлена в круглое отверстие в доске. Диаметр отверстия D = 3 см. На расстоянии d = 15 см от линзы на ее оптической оси находится точечный источник света. По другую сторону доски помещен экран, на котором получается четкое изображение источника. Каков будет диаметр D₁ светлого кружка на экране, если линзу вынуть из отверстия?

Ответ:см.