Импульс земли относительно солнца

Импульс земли относительно солнца

Прямой расчет момента инерции тела относительно оси сводится к вычислению интеграла

где — расстояние элементарной массы до оси вращения. При этом, естественно, необходимо учитывать симметрию системы.

Вычислим, к примеру, момент инерции шара (в сферических координатах рис. 2.15) относительно произвольной оси, проходящей через его центр (в данном случае относительно оси Oz):

— масса шара, — его объем.

Если считать, что наша Земля — шар с постоянной плотностью массы, то момент инерции Земли относительно центральной оси будет равен

Для сравнения рассчитаем момент инерции молекулы CO₂ относительно оси, проходящей через атом углерода перпендикулярно линии, вдоль которой расположены все три атома (рис. 2.16).

Основная масса атомов сосредоточена в их ядрах; размеры ядер (

10 -14 м) значительно меньше межядерного расстояния (

10 -10 м), поэтому атомы кислорода можно считать материальными точками, а моментом инерции атома углерода можно пренебречь. При этих условиях где — молярная масса кислорода, — число Авогадро, — межядерное расстояние (см. рис. 2.16). Подставляя числовые значения этих величин, получим

Для плоской фигуры моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей, две из которых лежат в плоскости фигуры, оказываются связанными между собой простым соотношением. Из рис. 2.17 следует, что

Это соотношение позволяет, например, легко вычислить момент инерции тонкого диска массы и радиуса относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в его плоскости (любая такая ось будет главной): поскольку момент инерции диска относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости диска, а

Теорема Гюйгецса-Штейнера.

Эта теорема связывает моменты инерции относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс тела.

Ось 1 на рис. 2.18 проходит через центр масс О, ось 2 параллельна ей; расстояние между осями равно и — векторы, перпендикулярные осям 1 и 2. Они проведены от осей в ту точку, где расположена масса

Момент инерции тела относительно оси 2

Последняя сумма равна нулю, поскольку ось 1 проходит через центр масс, и

Если, например, ось — касательная к поверхности шара, то можно, не проводя громоздких вычисление, записать:

Момент импульса тела относительно движущегося центра масс.

До сих пор, рассматривая момент импульса твердого тела, мы определяли его относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки (например, точки закрепления тела). Во многих задачах динамики это оказывается неудобно. Например, решая задачу о диске, скатывающемся с наклонной плоскости, логично рассматривать момент импульса диска относительно его центра масс, а не относительно точки, принадлежащей наклонной плоскости.

Рассмотрим, как будут связаны моменты импульса тела, определенные относительно некоторой неподвижной точки О’ и относительно центра масс тела О, движущегося произвольным образом (рис. 2.19).

Пусть и — радиусы-векторы элементарной массы — тела относительно точек O’ и O, R — радиус-вектор, проведенный из O’ в O. Эти векторы связаны между собой очевидным соотношением

Момент импульса тела относительно точки O’ (см. формулу (2.1))

Воспользуемся очевидными равенствами

( — масса всего тела);

поскольку точка О совпадает с центром масс тела. С учетом (2.56 — 2.58) из (2.55) получим

где — полный импульс тела в лабораторной системе XYZ, — скорость i-ой массы относительно центра масс.

Если момент импульса тела относительно его центра масс (относительный момент импульса) определить как

то из (2.59) следует искомое соотношение

Еще раз подчеркнем, что при определении момента импульса тела относительно его центра масс (величина (следует брать относительные скорости всех точек тела, то есть скорости точек тела относительно центра масс, считая его как бы неподвижным.

Замечание. Соотношение (2.61) позволяет также связать моменты импульса относительно двух параллельных осей, одна из которых неподвижна, а другая проходит через центр масс движущегося тела.

Обратимся к примерам.

1. Момент импульса цилиндра, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости, относительно его оси равен ( — момент инерции цилиндра относительно его оси, — мгновенная угловая скорость вращения цилиндра). Момент импульса того же цилиндра относительно мгновенной оси вращения, проходящей через точку касания цилиндра и плоскости, будет равен где — момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения, — радиус цилиндра.

2. Если шару массы сообщить скорость обеспечивающую движение по круговой орбите вокруг гравитационного силового центра O’, то он будет двигаться поступательно а его момент импульса относительно O’ (рис. 2.20а). Если при этом шар будет вращаться вокруг собственной оси с угловой скоростью как показано на рис. 2.20б, то постоянный относительно точки O’ момент импульса шара будет равен

Расчеты показывают, что момент импульса планет Солнечной системы относительно собственного центра масс значительно меньше их орбитального момента импульса. Орбиты всех планет лежат приблизительно в одной плоскости, так что их орбитальные моменты импульса складываются арифметически. Интересно, что все 9 планет движутся вокруг Солнца в одном и том же направлении, так что суммарный момент импульса Солнечной системы отличен от нуля.

Источник

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Момент — импульс — система

Момент импульса системы Земля — Луна сохраняется неизменным благодаря тому что по мере замедления вращения Земли расстояние между Землей и Луной увеличивается. [1]

Момент импульса системы равен / со2, где / ц / 2 инерции, и — приведенная масса, / — расстояние между электроном и ядром. [2]

Момент импульса системы , состоящей из нескольких микрочастиц, равен сумме моментов отдельных частиц. [3]

Моментом импульса системы относительно точки О называется сумма моментов импульса материальных точек, составляющих эту систему. [4]

Моментом импульса системы частиц называется векторная сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему. [5]

Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. Ниже мы будем понимать под М момент, определенный именно таким образом. [6]

Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т.е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под М момент, определенный именно таким образом. [7]

Чему равен момент импульса системы , состоящей из трех масс, относительно центра масс в момент, предшествующий столкновению. [8]

К — момент импульса системы относительно центра инерции в ее относительном движении. [9]

Такое выражение момента импульса системы возможно потому, что согласно условию все тела как до, так и после сближения вращаются с одинаковой угловой скоростью. [10]

Будет ли сохраняться момент импульса системы Земля-Луна , взятый относительно центра Солнца, если пренебречь влиянием других планет на их движение. [11]

В некоторых случаях момент импульса системы частиц или его проекция на некоторую ось могут сохраняться, даже если система не является замкнутой. [12]

Обычно принято определять момент импульса системы ча-стиц , выбрав в качестве начала отсчета радиусов-векторов ( точка О) центр инерции системы. Эта точка определяется следующим образом. [13]

В классической механике моментом импульса системы точек называется сумма моментов всех точек. [14]

В системе центра масс момент импульса системы частиц не зависит от выбора точки, относительно ко торой он вычисляется. [15]

Источник